Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
времени In t.
При у 4/3 отрезок Z3YX состоит из седел функции F. Поверхность уровня F =
F0 разбивает окрестность линии X на четыре области: две области D± и Z)2,
в которых F F0 (при этом в области Dx имеем 7^0, а в области D2 имеем V <
0), и две области Dз, Z>4, в которых F F0.
Значения функции F на линии Y (q) (6.8) определяются той же формулой
(5.19), что и в п. IV § 5. На отрезке линии Y (q) (0 < д < 1, оо^>М^>1)
имеем V > 0 и F < F0, следовательно, этот отрезок при у }> 4/3 лежит в
области Dv В полной аналогии с рассуждениями п. IV § 5 можно показать,
что все траектории в области Dx при убывании Я выходят из отталкивающей
особой точки Z5 или (при Y <С (со + 1)/со = 3/2) из отталкивающей особой
точки Z4. В частности, этим свойством обладают все траектории, проходящие
через отрезок линии Y (д), 0 q 1. Тем самым доказано, что все решения в
модели вспышек в оболочках звезд при со = 2, у > 4/3 при всех числах Маха
движения ударной волны М 1 имеют расширяющуюся пустоту внутри газа с
асимптотикой на внутренней границе (6.14).
Энергия Ео газового шара радиуса г при со = 2, у 4/3 в равновесном
состоянии (6.1) согласно (6.18) равна (- оо); после прохождения ударной
волны энергия газового шара (с полостью внутри) конечна. Следовательно, в
рассматриваемых автомодельных решениях при со = 2, у4/3, М> 1 в момент
времени t - 0 в центре симметрии г - 0 выделяется бесконечная энергия, т.
е. эти решения являются моделью сильного взрыва звезды, при котором
происходит сброс легкой оболочки звезды и масса остатка много больше
массы сброшенной оболочки.
РЕШЕНИЯ СО СХОДЯЩИМИСЯ УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ
231
§ 7. Автомодельные решения со сходящимися ударными волнами
I. Рассмотрим задачу о движении сходящейся ударной волны по покоящемуся
газу, которая без учета гравитации впервые изучалась в известных работах
[136, 137]. При наличии самогравита-ции газа решениями этой задачи
являются автомодельные решения со сходящейся ударной волной, в которых в
области перед ударной волной газ находится в состоянии равновесия (5.1),
а за ударной волной устанавливается движение газа с нулевой скоростью на
бесконечности.
Автомодельные решения со сходящимися ударными волнами в некоторых случаях
можно связать с решениями с расходящимися ударными волнами, которые
естественно назвать двойственными друг другу. Действительно, пусть Вх и
В2 - две точки многообразия S, сопряженные при преобразовании (5.5)
(причем точка Вг лежит в "дозвуковой" области Ь^> 0, а точка В2 лежит в
"сверхзвуковой" области L <С 0), и АВгС и DB2E - траектории системы
автомодельных уравнений (1.14), проходящие через эти точки (рис. 32).
Автомодельное решение с расходящейся ударной волной, соответствующей
разрывному переходу
из точки Вх в точку #2, определено о ^
отрезками траекторий АВЪ В2Е, причем
отрезок траектории В2Е описывает ре- ! ^ ~д
шение в области перед ударной волной. -г-------[-----------
Автомодельное решение со сходящейся j
ударной волной, определенное при -1
t < 0, г 0, соответствует, после пре- В2
образования t ->¦ - t, и - v, отрезкам траекторий DB2, ВХС. В этом реше-
Рис. 32. К построению двой-
нии область перед ударной волной они- ственных решении, сывается отрезком
траектории DB2.
Если оба указанных решения существуют, т. е. определены при всех 0 < X
оо, то они и называются двойственными друг другу.
Простой пример двойственных решений легко построить, используя найденное
в работе [7] при 7 = 7/6, о = 12/5 точное решение "динамический взрыв
равновесия". В этом решении закон движения ударной волны есть X = Х0 =
(6я/5)5/12. При X Х0
газ находится в равновесном состоянии (5.1); при 0 < X Х0
решение имеет вид
1
Р ct1''3 ' 189я
2 г
К v _ 4 (30лСЛ)5/6
6nGt* '
(7.1)
Это решение соответствует сепаратрисе (2.3), идущей из особой
232
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ЗВЁЗДАХ
[ГЛ. V
точки Zx в особую точку Z9 и пересекающей линию 1г14 в особой точйе 10 (V
= 2/3, т = 2/9, z = 1/62) (рис. 33). Траектория (2.3) при у = 7/6, со =
12/5 цересекает линию У (5.6) в точке Вх = = У (2/15), сопряженной в силу
преобразования (5.5) с точкой В2, лежащей на траектории X (5.4). Полное
решение "динамический взрыв равновесия" [7] описывается отрезками
траекторий
Рис. 33. Построение некоторых автомодельных решений со сходящимися
ударными волнами.
%iBi (0 X <[ Х0), B2Z8 (Х0 <[ X < оо). Двойственное решение в данном
случае соответствует траекториям Z3S2 (0 < X <[ Я0
(5.1)), BXZ9 (Х0 <^Х оо (7.1)) и после замены t - t, у-"- - v описывает
коллапс первоначально покоившейся звезды (отрезок траектории Z3B2) в
результате сжатия ее ударной волной, в процессе которого устанавливается
постоянная по пространству плотность газа (отрезок траектории BXZ9),
растущая со временем при t - 0 согласно (7.1).
Используем полученное решение для исследования задачи о движении
сходящейся ударной волны по покоящемуся газу. При у = 7/6, со = 12/5
собственные числа (1.37) в особой точке /0 (V = 2/3, т = 2/9, z = 1/62)
