Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
переходит в состояние равновесия. Решения с аналогичными свойствами
существуют также при всех близких у, со и при р Ф 0.
ГЛАВА V
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
В природе существует обширный круг явлений, в которых существенную роль
играет вращение газа или жидкости вокруг неподвижной оси. Например, в
области геофизических явлений необходимо учитывать вращение атмосферы и
океанов, обусловленное вращением Земли. Вращение является основным
свойством таких явлений, как циклоны и смерчи в атмосфере и водовороты в
воде. Вращение также необходимо учитывать в некоторых видах движений
плазмы в магнитном поле. Существенно, что в перечисленных явлениях
угловая скорость вращения газа, вообще говоря, зависит от расстояния до
оси вращения. Простейшим классом решений уравнений газовой динамики,
обладающих этим свойством, являются автомодельные решения с вращением
газа, изучению которых и посвящена данная глава.
Автомодельные решения с вращением идеального газа относятся к классу
частично инвариантных решений по классификации работы [138].
Автомодельное вращение вязкой несжимаемой жидкости исследовалось в
работах [139, 140]. Полная классификация инвариантных и частично-
инвариантных решений уравнений Навье - Стокса, включающая автомодельное
вращение вязкой несжимаемой жидкости, дана в работах [141, 142].
§ 1. Определение автомодельного вращения идеального газа
При изучении автомодельных решений с вращением газа вокруг неподвижной
оси наиболее естественно использовать цилиндрическую систему координат. В
произвольной системе координат уравнения газовой динамики имеют следующий
инвариантный вид:
(l.i)
(1.2)
(1-3)
Здесь - метрика в данной системе координат и используются
236 АВТОМОДЕЛЬНОЕ ВРАЩЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА [ГЛ. VI
стандартные обозначения для ковариантных производных:
(1.4)
г dv . "г к dp
и^ = ж: + т^' Pa = ir
3 3
уЬ;* = ^-Г>!ж + Г>"*.
охк
Символы Кристоффеля имеют стандартный вид:
+ *-%:-%)¦ <*-5>
В цилиндрической системе координат г, ф, zx метрика евклидова
пространства имеет вид ds2 = dr2 + r2dq>2 + dz], Среди символов
Кристоффеля этой метрики только три символа отличны от нуля:
pi г р2 г>а r-i
1 22 - - * л *12 - 121 - ' •
Вектор скорости газа в цилиндрических координатах имеет компоненты (у,
со, гг), где v - радиальная скорость, со - угловая скорость, и-скорость
газа по оси z\. В дальнейшем будет использоваться обозначение w = гсо,
С помощью формул (1.4) получаем явный вид уравнений динамики газа (1.1) в
цилиндрических координатах:
. dv го2 1 др
+ U- -
dv + dv dv
dt и- ~дГ + - dtp
dw + dw w dw
~дГ и- dr + г "9ф
ди д_ V du , w du
ИГ ч dr 1 r dtp
• U
dzx г р дг
dw , vw
aiT ~~~
ди 1 др
. dw , vw 1 др /л
+u-mr+- = ~if-W'
dzx р dzx
Уравнения неразрывности и адиабатичности (1.2) и (1.3) принимают вид
ар , Зри , 1 д (ри) дри ру п ц 7Ч
-дГ + - + --^ + "§ir + ~=u' дЖ1 + vtWfA + JLW) +ид-Ш1 = 0. (1.8)
dt ' дг г дф 1 dzx v '
Параметры идеального газа в автомодельных решениях с вращением имеют
следующий вид:
ifl=-J-n(X), u = ^-U(k),
<1Л>
P*=?F57"W. Р = -р^ТР(^
Здесь автомодельная переменная % = r/bt6, константы а и Ъ имеют
размерности [а] = MI/T*, [Ь] = ЬТ~Ь. В решениях вида (1.9)
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
237
наряду с радиальным движением газа происходит также вращение газа вокруг
оси zx и разлет по этой оси. Таким образом, в автомодельных решениях
(1.9) движение частиц газа является существенно трехмерным.
Автомодельные решения с одномерным движением частиц газа, имеющие
плоские, цилиндрические и сферические волны, подробно изучались в большом
числе работ [7, 115, 137, 143-147]. В случае цилиндрических волн эти
решения имеют вид (1.9) при w=u = = 0 и описывают одномерное радиальное
движение газа. Ряд точных автомодельных решений с вращением вязкой
несжимаемой жидкости найден в работах [139, 140, 148] (эти решения имеют
известные применения в задаче о диффузии вихря [139, 143] и при
моделировании торнадо [140]). Автомодельное вращение идеального газа,
судя по имеющимся публикациям и монографиям [7,115, 137, 143-147],
совершенно не изучалось. В данной главе проводится детальное исследование
автомодельного вращения идеального газа.
Отметим, что в классе автомодельных решений с плоскими волнами также
реализуются существенно трехмерные движения идеального газа. Пусть в
системе декартовых координат я1, я2, з? волна распространяется по оси х1
= г. В обобщенном автомодельном решении давление и плотность газа
определяются формулами (1.9), а скорости газа и1 (по оси хг) имеют вид
v1 - -j- V (Ь). vl = 4~ U) (К) + ~ W* (X), (1.10)
где i, / = 2, 3. В решениях вида (1.9) - (1.10) скорости газа при
фиксированных t = const и г = const являются линейными функциями
остальных пространственных координат. Это обстоятельство сближает
автомодельные решения вида (1.9)-(1.10) с движениями газа с однородной
деформацией (см. главу VII).
§ 2. Алгебраические интегралы автомодельного вращения
