Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
но с точки зрения принципа Относительности движение маятника с вертикально вибрирующей точкой подвеса эквивалентно движению маятника с покоящейся точкой подвеса, находящемуся в поле «силы тяжести» с ускорением g-j-y". Заменяя в (a) g на g + yv, в результате приходим к уравнению (24.75).
310 МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ [Гл. V
т. е. ^. Имеем, очевидно,
— /• ^ — АА. d* — 1 ^
Х _ ’ й"®*’ Л2 - ш2 dt2 ’
и потому из (24.75) следует:
d20 X. dfl . Г г а 1-оп /о/ г7п\
w + »di+W-TsmT}sm9==0- (24-77)
Положим для сокращения
(24-78)
Тогда
е=(?2.у = к*(*у; А=Л^=АА ?. = 2af ,
?a>4 Ч ш У Ч * / ш ш0 ш ш0 * *
и уравнение (24.77) может быть записано в виде
Й20 . о a ^ Г ,2 A a Л2 а. 1 • о л
*5-+2»t* + {a Ст; -Tsint|sin9=0-
Принимая в качестве малого параметра е отношение амплитуды колебаний точки подвеса к приведенной длине маятника, имеем окончательно:
^• + 2sa ^ + {кЧ2 — е sin х} sin 0 = 0, (24.79)
где согласно (24.74), (24.75) и (24,78) постоянные а и А будут меньше единицы:
a < 1, к < 1.
Так как полученное уравнение, содержащее малый параметр е,
не является уравнением в стандартной форме, то для непосредственного приложения ранее разработанной теории следует предварительно преобразовать его к этой форме.
Как оказывается, посредством простой замены переменных рассматриваемое дифференциальное уравнение второго порядка может быть
преобразовано к двум уравнениям первого порядка в стандартной форме. Для этого введем вместо одной неизвестной функции времени 0 две новые неизвестные 9 и Q с помощью формул
0 = <р — е sin т sin <pf (24.80)
~ = eQ — е cos х simp. (24,81)
Дифференцируя (24.80) и сравнивая с (24.81), имеем:
dQ dy . dtp
-г = -г- — е sm х cos ср ф dx dx 1 dx
dd dy dy • n
— — -r1- — e sm x cos 9 -r1- — e cos x sm 9 = — e cos x sm 9,
откуда
(1 — e sin x cos 9) — = sQ. (24.82)
Дифференцируя (24.81) и подставляя в уравнение (24.79), получаем:
d2d dQ df . . . . 72 2\ • й о
— е cos х cos 9 + е sm х sm 9 = (s sm х — кЧ*) sm 0 — 2otз ^ ,
§ 24]
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
311
и поэтому
е ^ = е cos % cos 9 ^ 4- е sin х {sin (9 — s sin % sin 9) — s in 9} —
— &2e2 sin (9 — e sin x sin 9) — 2as (ей — a cos x sin 9), откуда, сокращая на а и принимая во внимание (24.82), получаем:
— = {sin (9 — е sin х sin 9) — sin 9} sin х —
• — A2ssin(9—e sin т sin 9) -f- cos T C0.?.CP-2as (Q — cos x sin 9). (24.83)
VT 1 1—S SHIT COS Cp 4
Таким образом., видим, что благодаря (24.82) и (24.83) переменные 9, 2 удовлетворяют дифференциальным уравнениям в стандартной форме:
J- = eQ+s2...,
^ = s{ — sin2 х sin 9cos9 — A2 sin 9 +
4- Q cos x cos 9 — 2aQ 4- 2a cos x sin 9} 4- e2. • •
(24.84)
Применяя к ним принцип усреднения и учитывая тождественные соотношения
Л/- {cos -в} = О, Л/{sin2 х} = 4-»
Т Т ^
получаем уравнения первого приближения в виде
? = eQ> I
dl п л \ <24-85>
— = — е -! -g-sin 9cos 94- A2sin 94- 2aQ >•. I
Эти два уравнения первого порядка (24.85), очевидно, эквивалентны одному уравнению второго порядка:
d2 ср
• 2га -^- + е2 А24- у cos 9^ sin 9 = 0. (24.86)
dx2
Полученное уравнение первого приближения гораздо проще точного уравнения (24.79) хотя бы тем, что не содержит явно времени. Оно представляет собой уравнение колебаний системы, подобной маятнику с неподвижной точкой подвеса, у которой «восстанавливающая сила»
пропорциональна не sin9, а ^ к2 + cos 9^ sin 9. Любопытно отметить,
между прочим, что такого рода системами являются, например, некоторые гироскопы *).
При отсутствии затухания (а = 0) уравнение (24.86) полностью решается в эллиптических функциях. Однако для рассмотрения интересующего нас вопроса не требуется иметь выражения общего решения. Непосредственно из (24.86) видим, что это уравнение допускает квази-статическое решение ф = тс, соответствующее верхнему положению равновесия маятника.
*) Б. В. Булгаков, Прикладная теория гироскопов, М., ГОНТИ, 1939, стр. 93, формула (10).
312 МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ |Гл. V
Для исследования устойчивости рассмотрим малые отклонения 5<р = <р — тс от этого положения. Тогда уравнение в вариациях для 89 примет вид
^ + 2за $ + е» (| - А») 3? = 0. (24.87)
Так как здесь за > 0, то условие устойчивости будет:
|-й2>0,
т. е., принимая во внимание определение к:
ш > ]/ 2 («0 ~ . (24.88)
Итак, если частота вибраций точки подвеса достаточно велика, чтобы удовлетворить неравенство (24.88), то верхнее положение маятника становится устойчивым.
Пусть, например, 1=40 см, а — 2 см. В этом случае условие (24.88) дает:
ш>]/2 |/^20^ 140 — .
f г 40 сек
Верхнее положение маятника будет, следовательно, устойчивым, если
число циклов колебаний точки подвеса больше, чем , т. е. больше
22,3 колебания в секунду.
Если рассмотрим аналогично квазистатическое решение 9 = 0, соответствующее нижнему положению равновесия, то убедимся, что оно остается устойчивым при любых к и частота колебаний при малых
отклонениях без учета затухания будет равна г j/^~ -j- к2 для времени х и соответственно
аш
для времени t.
Таким образом, для рассмотренного выше конкретного примера нри число колебаний точки подвеса, равном 60 в секунду (ш = 377-^^) ,
