Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
- f N NV) т0 + т2 (TjV) т0} sin 2а, (25.29)
da
_ = _ Шн _ _ (Xlv) ^ (Xav) х0 + 2т2 (<s0V)
+ ^ {[-Fua) - к2Т2 (t0V) -Со + да2^ (^V) Т2} cos а +
у {''l (^V) т0 + т2 (^1V) *0} cos 2а + -г К (VO % — т2 Nv) т0} sin 2а- (25-30)
+ ™ { ~ (^1) + (toV) То - w42 (”C2V) -Sj} sin а
и
~2
К зтим уравнениям нужно еще добавить второе из уравнений (25.22) dr
dt
¦ и"С0 4- w {тх cos a -j- ”С2 sin а}.
(25.31)
Уравнения движения заряженной частицы в неоднородных полях в форме (25.28) — (25.31) удобны для применения вышеизложенного метода асимптотического приближения в случае магнитных полей, мало отклоняющихся от однородных и удовлетворяющих условию (25.19).
Произведем в системе (25.28) — (25.31) замену переменных, аналогичную замене (25.16):
-- W , - . - V
r= т -1-----(т2 cos а — sin а ),
шн
а = а 4- — (gi cos а — Д sin а) 4- ~ (^ cos а + t2 sin а) Vu>H + шн ш
+ (^2 cos 2а —/2 sin 2а ),
"я
U — II ¦
”Н
1=1,2
“ 1 _ - \ — —
w = w — — 2 ^ { “ ^5n cos Иа + -^5п sin па},
Н п=1,2
(25.32)
где и и од соответствуют переменным ж4, ж5 системы (25.1) и со# = — Х<»; /„. ёп> Fin, Gin> Fbn> GBn-коэффициенты при соответствующих гармо-
§ 25]
СЛУЧАЙ БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ФАЗЫ
323
никах в уравнениях (25.28) — (25.31):
/х = ^-{(^2) - иЧ (T„V) % + W) Т2Ь
81 = ^ {— (*^1) + (V7) т0 - w42 (t2V) tJ,
/2 = - У {**1 (XaV) To + **2 NV) %},
82 = Y {**1 (TXV) % - t2 (T2V) <*„}.
Fu = №TX (x0V) x0, Fi2 = у (TiV) t0 - x2 (t2V) t0}, = KV)V
^S2 = ~ X ~ ^2 То1 >
С41 = гдат2 (t0V) t0,
^42 = у {**1 KV) % + <2 C*1V) **0} > .
G51 = (vF) - ггЧ, (t0V)t0,
Gs2 = - у [Ti (т2 V) t0 + x2 (txV) x0].
J
(25.33)
Первая формула системы (25.32) выражает вращение частицы по лар-моровской окружности вокруг среднего положения, вторая, третья и четвертая формулы описывают влияние неоднородностей поля и внешней силы на угол вращения а и компоненты скорости и и w.
Уравнения (25.28) — (25.31) в результате преобразования (25.32) уже не будут содержать угловой переменной а. В дальнейшем изложении будем всюду опускать знаки усреднения при переменных, обозначая
г, и, w просто г, u, w, что не может привести к путанице, так как далее мы будем иметь дело лишь с усредненными переменными.
Все расчеты будем вести с точностью до членов, пропорциональных
1 „ .. du dw -
— . 1огда в приближенных уравнениях для -у- и -у- , как будет ясно
Q)j^ Cll СИ*
из дальнейшего, достаточно сохранить лишь члены нулевого порядка 1
относительно -— .
"я
В нулевом приближении уравнения (25.281 и (25.29) дают:
Из системы (25.34) следует закон сохранения энергии для усредненного движения. В самом деле, умножая первое уравнение системы (25.34)
(25.34)
так как
(25.35)
324
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
[ГЛ. V
на и, а второе на w и складывая, получим:
du , dw , тт, \ 1 dV
U~dt+Wdt=U{-FZ о>= где V — потенциальная энергия частицы.
Следовательно,
(гг2 + w2) + -^ = const. (25.36)
Найдем из второго уравнения системы (25.34) адиабатический инвариант. Имеем:
?--тгОЧв)>
--?(1КйХ)--т!(и). <25-эт>
так как div Н = 0 и ит0 ^ .
В результате интегрирования уравнения (25.37) получим:
= const. (25.38)
Таким образом, величина является адиабатическим инвариантом, т. е. сохраняется не точно, а лишь с точностью до членов по-
рядка .
я
Можно было бы дополнить выражение (25.38) высшими членами по
— , начиная с первого, и получить явное выражение для приближения
ного интеграла движения, сохраняющего свое значение с любой наперед заданной точностью.
Физический смысл адиабатической инвариантности величины ^
состоит в том, что магнитный поток через ларморовскую окружность
1
является величиной постоянной с точностью до членов порядка малости— .
сод
Уравнение (25.31) в результате преобразования (25.32) принимает вид
li = в,° + 2^ ^1 + +
+ ^ (W) Ti - (txV) т2) + ~ (,f1GB1 - t2F61) -
~ №я) - ^2('CiVo.h)) + О ( ) (25.39)
с учетом
*» + **2gl) + lAl - ^51 =
= •*! (2 (taF) - 2u2z2 (t0V) (TlV) t2} +
+ t2 { - 2 (txF) + 2u2xt (t0V) - да2т2 (t2V) .
Уравнение (25.39) перепишем в виде
/Jtp \ _ _ 7/2
dt = в,° + f^2) - ,2 - — Ьл (T0V) -Со - '*2'*! (T0V) *„} +
н н
+ 2ш ('ciV) ^ (xaV) -ej {(xaV) -е, - (x,V) т2} -
^ я ^шн
т/н2 /" -1 X
~~ 2юн (Т2^с°я)— ,'2 (т1^“)я)} + ) > (25.40)
§ 25]
СЛУЧАЙ БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ФАЗЫ
325
или
dr
dt
= т0{* + 2^ (''о rot “'о)} -+ % X { - ~ F+ Щ VwH + ^ (,0V) т0}, (25.41) так как
*1 [^хт0],
п^г (x0V) т0 ~ ^2^1 (t0V) = tKV) т0 а т0],
(t2V) тх - (TjV) т2 = т0 (т0 rot т0) - тхтх (т^>т2 + т2т2 (xaV) v
В уравнении (25.41) можно пренебречь малой поправкой
W2 / .
(Т0 rot Т0)Т0
к главному продольному члену wс0.
Нетрудно видеть, что в уравнеиии (25.41) в принятом приближении члены, перпендикулярные к полю Н, начинаются с членов порядка
1 гг 1
—, а параллельные полю Н определены лишь с точностью до — . “я “я
Сохраняя ту же точность, к этому уравнению можно добавить величины
типа "с0 — . В самом деле, если от нашего т перейдем к другому (см. за-юн
мечание о «неоднозначности») заменой
** = ^’нов + '^г' / (я> г)’ (25.42)
“я
1
смещающей г вдоль линии магнитного поля на величину порядка -у ,
