Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
V
(* = 1, 2, .. ., га),
в которых V —постоянные частоты.
Необходимо отмстить, что уравнения (24.14) рассматриваются исключительно в вещественной области, и комплексная форма представления синусоидальных колебаний, примененная в (24.15), введена лишь для простоты обозначений.
, , /. :г"’ . vi- (24-13)
I 24]
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
299
Иногда при рассмотрении высших приближений целесообразно учитывать в дифференциальных уравнениях также члены высшего порядка по отношению к з. При этом получаем, например:
^ = eXh(t, х1г xn) + sWfl(t, ...,хп)+... (24.16)
(А=1, 2, ..., п),
где Yh — функции того же вида, что и Xh. Этот тип уравнений также будем называть стандартным. При применении теории возмущений здесь не вносится никаких существенных изменений.
Прежде чем приступить к изложению этой теории, введем ряд
сокращенных обозначений. Так, совокупность п величин жх, х2, . . ., хп условимся обозначать одной буквой х. Тогда уравнения (24.14) запишутся в виде
^ = *X{t,x), (24.17)
где
X (t, х) = 2 eiv(Xv (ж). (24.18)
Формулы дифференцирования сложных функций
dFh (t, хг, . . ., хп) _ 8Fk dt dt
+ 2
9=1
dFh dxq dxq dt
в наших обозначениях будут:
dF_8F , dF dx dt dt
dF
/ dx d dx dt dt V dt dx
F,
(24.19)
(24.20)
где, таким образом,
dF
dx
трактуется как матрица
приложенная к вектору произведение
dx
dt
dFh
dx„
{ dx d Л И v dt dx )
^ dxQ 9 9=1
dt dxq '
— как операторное скалярное
(24.21)
Очевидно, что применение указанной матрично-векторной системы обозначений не требует особых пояснений и представляет значительное преимущество в отношении сокращепия записи.
Пусть, далее, F (t, х) является суммой вида
F{t, ж)= 2elv'Fv(a:). (24.22)
Тогда, вводя обозначения
M{F(t, x)} = F0 (х),
300
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
|Гл. V
и т. д., получим тождественно:
f=F, ~ = F-M{F}. (24.24)
Оператор ~ будем называть интегрирующим оператором, М — оператором
t
усреднения при постоянных х или оператором усреднения по явно содержащемуся времени.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений (24.17), где в — малый параметр и где выражения X как функции времени t представляются суммами (24.18).
Заметим, что форма приближенного решения может быть найдена, или лучше сказать угадана, с помощью совершенно интуитивных
соображений, а именно: так как первые производные ^ пропорциональны малому параметру, естественно считать х медленно изменяющимися величинами. Представим х как суперпозицию плавно изменяющегося члена $ и суммы малых вибрационных членов и ввиду малости этих последних в первом приближении положим ж = ?. Тогда
J = sX (t, х) = SX(t, 5) = 8 2 *V (5) e(24.25)
V
т. e.
-^ = sX0 (?)-}- малые синусоидальные колебательные члены. (24.26)
Считая, что эти синусоидальные колебательные члены вызывают лишь малые вибрации х около ? и не оказывают влияния на систематическое изменение х, приходим к уравнениям первого приближения в виде
g = eX0(?) = S М{Х(1,Щ. (24.27)
Для получения второго приближения необходимо принять во внимание в выражении х также и вибрационные члены; учитывая в (24.26) член eeiv(Xv(?), как вызывающий в х колебание вида
¦ Х^ (?),
приходим к следующему приближенному выражению:
еы
tv
* = S + *2^Xv(5) = 5 + e2(*, 6). (24.28)
о
Подставляя (24.28) в уравнение (24.17), имеем:
dx dt т. е.
^ = еМ {X (it, ? -f sZ)} -f малые синусоидальные колебательные члены, at t
откуда, пренебрегая влиянием синусоидальных колебательных членов
— s.X (tj 5-4-г.Х"), (24.29)
24] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 301
на систематическое изменение ?, получаем уравнения второго приближения § = SM{X{t, $4-eX)} = sM{z(f, $) + s(x|)x(i, ?)} (24.30)
H T. Д.
Приведенные рассуждения, очевидно, не могут претендовать на какую-либо убедительность; против них может быть выдвинуто хотя бы то возражение, что при составлении приближенных уравнений (24.27) в уравнениях (24.17) отброшены члены того же порядка малости, что .и оставленный член еХ0.
Нетрудно, однако, придать им более обоснованную форму. Совершим для этого в уравнениях (24.17) замену переменных
х = $ + еХ(г, ?), (24.31)
где $ рассматриваются как новые неизвестные.
Дифференцируя (24.31), имеем:
dx di 3JC (г, ё) di, дХ (t, i) /0/
dt dt 5$ dt ' ? dt \ )
Но ввиду свойства (24.24) интегрирующего оператора
Щ^^хц, е)-х0(?).
Подставляя (24.31) и (24.32) в Зфавнение (24.17), получаем: ft +s^ri)S + sZ(*’ €) —eX0(S) = eX{t, 6 + аХ(г, Ш
или
{1 + ? Щ} I = sXo (?) +i5 (*• ^ + е*) - ¦* (t. ?)}. (24.33)
где 1 рассматривается как единичная матрица.
Умножая (24.33) слева на
{1 + еЩ-1, (24.34)
замечаем, что новые неизвестные $ удовлетворяют уравнениям вида g = s{l + s^}-1Z0(^ + S{l + ^}“1{X(«^ + sZ)-X^^)}. (24.35) С другой стороны, разлагая (24.34) в ряд по степеням г, имеем: {*+¦# =
где вообще символ ет обозначает величины порядка малости ет. Поэтому уравнения (24.35) дают:
§ = sZ0($) + s2 ..., (24.36)
302
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
[Гл. V
или более подробно
§ = $Х0 (0 - г* Х0 (?) + e{X(t,t + з?) -X(t, ?)} + з* .. . =
= гХ0 (6) - Х0 (*) + г^Х |) X (г, ?) + ?з . . . (24.37)
