Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
+ р] -- 0. (2.18)
CZ С Ot
Эта формула выражает основной закон движения плотности р (<7, р, t). Она позволяет определить р(<7, р, /) для t>0, если плотность p(q, р, 0) дана для / = 0. Из этого уравнения следует постоянство условия нормировки (2.14). Действительно, скобка [Я, р] имеет свойство дивергенции вектора и исчезает при интегрировании по объему в M(q, р) по теореме Гаусса. Следовательно,
д
dt
jp(p, q, t) dqdp = 0 (2.19)
(действительно, d/dqs(pqs) + d/dps (pps) —
dp ¦ dp ¦ / дгН д*Н \ n
=ni7q~a<h
а выражение в скобках равно нулю).
Приведем теперь важнейшие формулы для ансамбля Гиббса, фиксированного макроскопической обстановкой М. Нормировка плотности вероятности рм(<7, р) имеет вид
fpM(q, p)dqdp= 1. (2.20)
Среднее значение любой динамической величины
I{q, р) системы ц
7=fpM(q, p)I(q, p)dqdp. (2.21)
Среднее квадратическое отклонение переменной /
&2=fpM(q, p)[I{q, р) —Ifdqdp. (2.22)
Вероятность данного значения / величины /(q, р) равна
dW (I) =/рм (q, p)8(/(q, p)-I)dqdp (2.23)
(здесь 6(х) — б-функция Дирака).
15
Вероятность той или иной конфигурации системы ц в пространстве $.{q) равна
dW(q)=fpM{q, р) dp. (2.24)
Вероятность данного импульса
dW (р) =/рм (q, p)dq. (2.25)
Для упрощения формул мы часто будем опускать индекс М у плотности рм, но всегда следует помнить, что р соответствует определенной макрообстановке М.
ЛЕКЦИЯ 3.
КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В ПРОСТРАНСТВЕ 5?(q, q')
Глубокие связи между классической статистической механикой и квантовой механикой особенно ясно обнаруживаются, если обратиться к представлению классической статистической механики в сдвоенном пространстве конфигураций M(q, q') вместо обычного рассмотрения ее в пространстве фаз $.{q, р) [1, 5]. Такое рассмотрение можно осуществить, если вместо точки (р) пространства фаз ввести вторую точку в пространстве конфигураций (<7') посредством следующего преобразования Фурье любой динамической переменной L(q, р):
L(q, р) =JL(q, |)exp(ip|/ft')d|, (3.1)
здесь l=q'—q, h' — некоторая произвольная постоянная размерности действия. Подобным же образом
р(<7, P)=fp(d, ?)ехр (ipl/fl')dt (3.2)
Обратные формулы имеют вид
L(q, q')~L{q, E)=jL(<7, р) dP, (3.3)
P(q, q') = 9{q, E) = Jp(<y, P)-Pj~~'1 dP- (3-4)
Это представление сближает классическую статистическую механику с квантовой механикой. Замечательным образом динамические переменные классической статистической механики в новом представле-
16
пни оказываются обобщенными функциями. В частности, имеем в этом представлении
Эти выражения для р и q полностью совпадают с выражениями для операторов р и q в квантовой механике (в координатном представлении). В рассматриваемом представлении динамические переменные статистической механики перемножаются как компоненты Фурье:
Поэтому АВ=ВА. В частности, легко проверить, что
в отличие от квантовой механики, где это выражение не равно нулю. Запишем теперь важнейшие формулы в новом представлении. Нормировка плотности р, как следует из (3.2), теперь гласит:
Формула (2.21) для среднего значения величины L(q, р) после подстановки в нее выражений (3.1) и
(3.2) приобретает вид
Далее, вероятность конфигурации (2.24) будет равна
/V j pexp(-ipljn')
W J8.(S ~Z3'1
dq'
(3.5)
qЧС = q& = ( <7exp( — ipllh') -^L =,q’b{l) = q'b{q-q').
(3.6)
AB{q, l)=JA(q, u)B{q, \~u)du. (3.7)
{pq~qp)g, s=0
(3.8)
или
/р(<7. P)dqdp=f p (q, l)l==0dq= 1 (3.9)
fp{q, q)dq= 1.
или
L=fp(4, l)L{q, l)dqd\, L=fp(q, q')L{p> q')dqdq'.
(3.10)
p(<7)=p(<7, S)i-o=p(<7, q),
(3.11)
и, наконец, имеет место соотношение
(3.12)
17
Подробности выкладок, Приводящих к чгнм форму лам, даны в дополнении 1.
Приведем уравнение движения для н.'нм иск-1 н р и кп ординатном представлении в пространстве 3?(</, ч') Чтобы получить это уравнение, необходимо выразить все величины в уравнении (2.18) через их компоненты Фурье согласно преобразованию (3.1) и (3.2) и воспользоваться законом умножения (3.7). Ограничимся случаем одной степени свободы q и простым гамильтонианом:
здесь р — импульс частицы, т. — масса, V(q) — потенциальная энергия. Уравнение для р (<7, р, t), как легко найти из (2.18), теперь гласит:
Выполняя указанное преобразование, в результате выкладок, приведенных в дополнении 1, получим вместо (3.14) уравнение для р(<7, ?, t):
Приведем два простых случая, когда уравнение (3.15) решается несложно.
А. Свободное движение: V=const. Положим
где р(а, р) — произвольная функция, которую следует выбрать по начальным данным. Подстановка в
(3.15) приводит к дисперсионному уравнению
Если подставить (3.17) в (3.16) и перейти с помощью преобразования Фурье от р(<7, ?, /) к p(q, р, /), то получается, что р(<7, р, t)=f(p, q—pt/m), где функция /(р, q) описывает начальное распределение при ^=0.
Нетрудно проверить, что это решение удовлетворяет уравнению (3.14) при dV/dq=0.
H(q, p)=p2l2m+V(q),
(3.13)
dp _i P dp
dt m dq
дУ _Ф_ _q
(3.14)
dq dp
(3.15)
P(<7. 1. 0=/p(a.P)exPM-J‘(a9+P?)№^P.
(3.1 (i)
tco (a, p) + a|3 = 0.
(3.17)
m
18
Б. Осциллятор: V=mo)02q2l2. В этом случае следует ввести переменную z=q?,jA2, где А2 = Ь'/тоз0. Преобразуя уравнение (3.15) с помощью подстановки для специального случая гармонической зависимости р от t:
