Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
товая механика оперирует с волновой функцией г|), квантовая статистическая механика оперирует со статистическим оператором р, иначе названным матрицей плотности по аналогии с плотностью вероятности в классической статистической механике. Однако соотношения между механикой и статистической механикой в классической и квантовой областях совершенно различны. Квантовая механика сама по себе является статистической теорией.
Важнейшую роль в квантовой механике играет теория измерений. Теорию измерений нельзя построить без квантовой статистической механики — связь здесь взаимная. Эти соотношения поясняются следующей схемой.
Классическая механика Квантовая механика
Описание траекториями Описание волновой функцией
Здесь р, q — сокращенные обозначения для импульсов ри р2, ..., р; и сопряженных координат
В отличие от классической физики в области квантовых явлений статистическое описание явлений оказывается совершенно неизбежным и лежит в самой се основе. Кван-
Рис. 1. Л В - - область, для которой ладами начальные условия. Указаны траектории корабля К К' и случайною метеорита ММ'
Квантовая статистическая механика
Описание плотностью вероятности р (о, q) в 2/-мерном фазовом пространстве 5? (,о, q)
Описание статистическим оператором р в f-мерном пространстве конфигураций, импульсном ^простран-стве j? (р) и др.
8
<7i, <72, •••, q;\ / — число степеней свободы изучаемой системы.
В дальнейших лекциях изложение квантовой механики будет построено на расширенном ее понимании, в которое как неотъемлемая часть входят теория квантовых измерений и вместе с тем квантовая статистическая механика.
Такому изложению квантовой механики будет предшествовать небольшой экскурс в классическую механику и классическую статистическую механику, носящий характер напоминания.
ЛЕКЦИЯ 2.
КЛАССИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ ГИББСА
Напомним основные положения классической механики системы материальных точек. Движение такой системы можно описать с помощью канонических уравнений Гамильтона, оперирующих с обобщенными координатами q=(qu q2, ..., q$) и сопряженными им импульсами р=(р\, р^, Pf). Здесь / — число степеней свободы рассматриваемой системы.
Состояние системы определяется точкой (q, р) в фазовом 2/-мерном пространстве 3Z(q, р), /-мерное пространство 3t(q) называется пространством конфигураций, а /-мерное пространство 32 (р) — импульсным пространством. Задача механики заключается в нахождении траектории системы q(t) в пространстве конфигураций 31 {q) по начальному состоянию системы при t=О, заданному точкой в фазовом пространстве:
(7°, р°) = t7i°, q2a, ... , qf°; рД р2°, • • • , Pf°-
Ввиду связи, существующей между ps и qs, вместе с тем определяется траектория и в пространстве фаз 32 (р, q) ив пространстве импульсов 32(р).
Важнейшую роль в классической механике играют скобки Пуассона, которые для любых двух динамических переменных A (q, р) =Л и B(q, p)=sB определяются формулой
9
где сумма распространена по всем степеням свободы s=I, 2, f. Обобщенные импульсы ps и координаты (/, называются канонически сопряженными, если они удовлетворяют скобкам Пуассона:
[p.,, <7r]=Ssr; [ps, pr]-= 0; [(/,-, qr] = 0. (2.2)
Эти скобки выражают независимость и достаточность избранных обобщенных импульсов и координат.
От 2/ переменных (р, д) можно перейти к другим 2/ переменным (3я, Q). Эти новые переменные должны быть опять канонически сопряженными. Для них должны выполняться скобки Пуассона:
[^„ <2Л=Л,, ^] = 0, [<?„ <?rJ = 0. (2.3)
Такие преобразования называются каноническими. Бесконечно малое каноническое преобразование определяется формулой
Ps^Ps+lPs, тк Qr=-qr+[qr, К]Ак, (2.4)
где K{q, р, X) — произвольная функция переменных (q, р) и параметра преобразования Я, АХ — бесконечно малое приращение этого параметра. Пользуясь
(2.1), эти формулы можно написать в виде ¦
^s = ps + iisAX, Qr = <7г-1-фг-ЛХ, (2.5)
где
iJps = dKldqs, ср г=^—дК!дрг.
Для доказательства каноничности преобразования
(2.4) подставим (2.4) в (2.3). Получим
[З3.. Qr] = [(Ps + [р„ К] АХ), (qr + [q„ К\ АХ)] =
= [&. ?Л + [А. [qn [р„ К]] + О (АХ,2).
Далее, пользуясь (2.5), найдем
[&s, Qr]=\ps, qr]+0 (№)-Hps, <7г]=в*г. (2.6)
Подобным же образом доказываются два других соотношения в (2.3).
Применяя к переменным (J3, Q) бесконечно малое каноническое преобразование с параметром ДА/, мы перейдем к новым канонически переменным ( /*', Q') и т. д. Тем самым доказано, что канонические преобразования образуют однопараметрическую группу и скобки Пуассона служат представителем л'ого преобразования. Деля разности Q—q и .9*—р на Да, запишем уравнения преобразования (2.4) в дифференциальной форме:
= А1х=Лг'К1 (2'7)
Основные условия канонического характера преобразования (q, p)-+(Q, ?Р) можно выразить не только формулами (2.4) или (2.5), по и в дифференциальной форме. Если образовать разность
Y({j\d.Q, — psdqs), (2.8)
то, пользуясь (2.5), нетрудно показать, что
I f
V(&>sdQ<~Pi</qJ --- d IК-У Р>) АХ, (2.9)
J*-. I \ 4faW П.А, }
s - ! s-—1
г. е. разность (2.8) должна быть полным дифференциалом от функции, указанной и (2.9) в скобках, такие преобразования носят название контактных (2. с. 334].
