Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
Если в качестве параметра Я взять время t, то уравнение (2.7) превращается в каноническое уравнение движения рассматриваемой мехап"чрекой системы.
d;r .. \р„ н], я]. (2.Ю)
dt dl
Функция K(q, р, I) в этом случае называется функцией Гамилыона п обычно обозначается через //(г/, р, Н), что и сделано в (2.10). Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, то она яв-
11
ляется интегралом движения. Действительно, пользуясь (2.10), находим
^=[й,й]з 0. (2.11)
at
Молено доказать, что H(q, р) есть полная энергия системы.
Уравнения (2.10) содержат важный результат. Они показывают, что движение динамической системы, описываемой координатами и импульсами (q, р), можно рассматривать как последовательность бесконечно малых канонических преобразований:
&s=ps+[ps, Н]М, Qr = qr+[qr, Н]М,
где &>s=ps(t+At) и Qr=<7r(H-Af).
Обращаясь теперь к (2.9), получим
f t
V(cl\dQs~p4q,) = d (Я— УРь-^г) М.
8=1 5=1
Функцию
S=1
называют функцией Лагранжа, а функцию
и
S=\Ldt
и
— функцией действия. Эта функция имеет тесную связь с волновой функцией ib в квантовой механике, именно в приближении S/h^>l г|з ~ exp (iS/h), а канонические преобразования классической механики имеют в квантовой механике аналогию в виде унитарных преобразований квантовых операторов.
В отличие от описанной выше постановки проблемы, характерной для классической механики, в классической статистической механике состояние системы задается не какой-либо определенной точкой (q, р) в пространстве фаз &{q, р), а вероятностью dW или ее плотностью р:
dW(q, р, t)-p(q, р, t)dqdp, (2.12)
12
указывающей вероятность того, что рассматриваемая система в момент времени t имеет координаты в интервале
qs, qs+dqs; ps, ps+dps; s= 1, 2, /. (2.13)
По смыслу вероятности функция p(q, р) неотрицательна и нормирована на единицу:
/р(<7, р, t)dqdp=\ (2.14)
(детально эти вопросы изложены в курсах статистической физики [3, 4]).
Вероятностное описание предполагает наличие некоторого статистического коллектива, или, иначе, ансамбля, который должен быть определен физически, и тем самым должно быть указано, к какому коллективу событий относится теоретическая вероятность.
В рассматриваемой ниже статистической теории таким ансамблем является ансамбль Гиббса*. Суть его такова: предполагается, что изучаемая механическая система [л (это может быть атом, молекула, кристалл, газ п т. п.) находится в определенной макроскопической обстановке М, которая определяется макроскопическими параметрами (температурой, величиной внешних полей и т. п.). Обратное влияние ц па М считается малым. Напротив, обстановка М вполне, в статистическом смысле, определяет состояние системы ц. Предполагается, что такая ситуация повторяется N раз (N-*-oо). На рис. 2 изображено такое повторение. Измеряются динамические переменные (q, р) системы ц. В первом случае получено (<7(|), Р{1)), во втором — (q(2), р(2)), в п'м ~ (<7(п). Р(п)) и т. д. Предполагается, что в этой серии независимых измерений возникает вполне определенное, продиктованное обстановкой распределение результатов измерений, которое и предсказывается вероятностью
dWM(q, р, t)=pM(q, р, t)dqdp. (2.15)
Индекс М указывает параметры обстановки М. Простейшим, но и крайне важным случаем обстановки М
* Термины «статистический коллектив», «•статистический ан-< нмоль», «•статистическая совокупность» равнозначны. Мы будем чаще пользоваться термином «ансамбль», связанным с именем Гиббса [3, 4].
13
является большой термостат температуры Т, с которым система обменивается энергией. Гиббс предположил, что в этом случае плотность вероятности является функцией только полной энергии Е= = Н(р, q) системы ц, и, исходя из рассмотрения составной системы ц=|л.а + л,-\1ь, доказал, что плотность р должна иметь вид [3, 4]
—'-(к)
F — Н (д, р) kT
(2.16)
здесь к — постоянная Больцмана. Функция F, зависящая от Т, определяется из условия нормировки (2.14).
Рис. 2. Ансамбль Гиббса: М — макроскопическая обстановка; ц — система, погруженная в эту обстановку. Ситуация воспроизводится много раз: Л'-*оо
Как доказывается в статистической термодинамике, F есть свободная энергия системы. Формула (2.16) называется каноническим распределением. Оно описывает ансамбль системы, находящихся в термодинамическом равновесии с термостатом.
Гиббс был первым ученым, который не стремился «вывести» статистику из детерминированной механики. Он предпочитал изучать следствия из простых статистических предположении. Предложенное Гиббсом каноническое распределение лежит в основе термодинамической статистики.
Обратимся теперь к описанию движения в этом ансамбле. Плотность р (q, р, t) удобно представить себе множеством независимых точек, плотность которых пропорциональна p(g, р, /). Ясно, что число этих точек должно сохраняться. Поэтому в 2/-мерном фазовом пространстве 9l(q, р) плотность р (<7, р, t) должна подчиняться многомерному уравнению непрерывности
S=«l
14
С другой стороны, это Выражение есть не что иноё, как полная производная плотности по времени вдоль траектории. Пользуясь уравнениями (2.10), мы можем написать вместо (2.17)
