Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
определяющие полный статоператор р для некогерентного ансамбля (7.1), ортогональны друг другу:
рфи=0, ХФу,, (7.3)
и определяют статистически независимые события.
Сумма вероятностей Р*, входящих в определение р (7.1), подчиняется условию вероятностей независимых событий:
E^=i. (7-4)
Собственные значения операторов р*, как и всякого оператора проекции, равны +1 и 0. В результате собственные значения оператора р (7.1) равны вероятностям Р], Р2, ..., Р\, ..., Pn. Поэтому оператор р
(7.1), будучи приведен к диагональному виду, приобретает вид
Pi 0
Р =
Рг
0 Р
N
(7.5)
Заметим, что общая запись оператора (7.1), пригодная как для непрерывного, так и для дискретного
спектра, имеет вид
P=fP(tydp%, (7.6J
при этом, конечно, фх не обязательно задавать в координатном представлении в пространстве 9l{q, q'). С помощью унитарного преобразования можно перейти к любому другому представлению М.
Если собственные значения М\, , М„, ..., Мт
оператора М дискретны, то оператор р в пространстве М') приобретает вид
р (n,m) = ?Px%(n)it>I(/n), (7.7)
37
где -фх(«) — амплитуды в разложении
^Л<7)=?Ы«)ФЛ<?)> (7-8)
П
а Фn(q) (п= 1, 2, ...) — собственные функции оператора Ж. В силу того что вероятности Рк входят в матрицу р линейно, не зависят от времени, а отражают нашу информацию об ансамбле, все соотношения и уравнения, установленные ранее для когерентного ансамбля, остаются верными и для ансамбля некогерентного, конечно, за исключением условия р2=р, характерного только для когерентного ансамбля. В некогерентном ансамбле
р2=Ер^- (7-9)
Собственные значения р2 суть Р?<С 1.
Вычислим теперь среднее квадратичное отклонение какой-либо величины /„, изображенной оператором 3?.
Если среднее значение L есть L, то
Ш=Sp [p~(?-Z)2] = ? рх Sp р, (j?- Lf =
=? рх Sp р, {(?-1я)2 + (L—Txf) =
X
=^РАЩ+ (7.10)
x
где L% — среднее значение L в подансамбле р*;
AL% — среднее квадратичное_ отклонение в том же подансамбле; величина (Г—L%)2 — дополнительная статистическая дисперсия, характерная для некогерентного ансамбля, которая устранима применением анализатора, разлагающего некогерентный ансамбль р на когерентные подансамбли рх, которые уже не разложимы на бездисперсионные подансамбли.
Обратимся теперь к уравнению движения для оператора р (7.1). Из постоянства вероятностей Р% заключаем, что уравнение движения для статопера-тора р некогерентного ансамбля не будет отличаться
38
от уравнения движения для статоператора когерентного ансамбля (4.20), Действительно,
(7.11)
Поэтому уравнение^
^-+[Я,р] = 0 (7.12)
at
сохраняет свое значение и для самого общего квантового ансамбля, каким является ансамбль некогерентный. В этом выводе строго учитывается требование dPJdt=0. Подчеркнем еще раз, что величины Р% меняются только с изменением нашей информации. Разумеется, если эта информация меняется очень медленно (например, термостат, в который погружена система (х, очень медленно меняет свою температуру 0) и если при этом наша микросистема [х приходит в тепловое равновесие, то в (7.1) величины Рл = Рл(0), 0 = 0 (f) можно считать зависящими от времени, пренебрегая все же величиной dPJdt.
Если же изменения температуры © быстрее, то и сам термостат нужно изучать средствами квантовой механики и определить новую макроскопическую обстановку Ж', такую, что Ж погружено теперь в Ж'. Новая обстановка Ж' должна быть достаточно стабильна, как и всякая хорошая система отсчета.
Рассмотрим теперь, как изменяется со временем р(п, t) —¦ вероятность найти в момент времени t значение какой-либо динамической величины L, равное X. Для определенности будем считать, что спектр оператора & дискретен: L — %u Х2, ..., %п, ..., Хт-
По определению вероятность р (п, t) равна диагональному элементу матрицы р, взятой в L-лредстав-лении:
р{п, t)=p(n, п; i)={n\p{t)\n). (7.13)
Часто интересуются не самой вероятностью, а скоростью ее изменения со временем. Ответ на этот вопрос дается непосредственно уравнением (7.11), которое удобнее для нашей цели написать в представле-
39
нии взаимодействия. Согласно (4.27) в этом представлении уравнение (7.11) приобретает вид
dp/dt+[W(t), р]=0, (7.14)
где W — энергия взаимодействия, из этого уравнения следует
JP?LiLsjL(„,p№> = dt dt х { к '
==~тИ{<п1^(01п'/)(п'/1р1п)~(п1р1п',)х
п"
X<n"|t(0l«)} = -^-5]{(n|t(0|n',){«,/|pV>-
п"
-(n"\'9\ny{n\W(t)\n"Y), (7.15)
откуда
др(п, t)/dt= (2//г)1ш(п| $”(0р(0 |«>- (7.16)
Если было известно, что при t = 0 система [х находилась в состоянии L — Хт, так что при /=0 только один матричный элемент (т\р(0) \ т)=1 отличен от нуля, то формула (7.16) дает вероятность перехода системы [х в единицу времени из состояния пг в состояние п.
Эта вероятность имеет простой вид в том случае, когда можно ограничиться первым неисчезающим приближением теории возмущения. В этом приближении из уравнения (7.14) получим
arfww . = -(„lt»((),y(0)]|m> =
=----i-(„|r(!)|m)(mlp(0)|m). P-l7)
п
Имея в виду, что (m|p(0)|m) = 1, получаем
t
(n\p(t)\m) = J (n\W (r)\m)dx. (7.18)
О
40
Все остальные матричные элементы («|р(0 \п"), п"ф фт, в рассматриваемом приближении равны нулю. Подставляя эти результаты в (7.15), находим
