Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
Это позволяет нам сделать вывод о том, что обе теории, классическая и квантовая, работают в одинаковых пространствах: &(q, q') и 31 (q, р) (возможно еще и представление в импульсном пространстве &(р, р'))- Некоторое расширение набора динамических переменных, характеризующих микроскопические системы ц, по сравнению с набором классических переменных происходит за счет дискретных квантовых переменных, таких, как механический спин час-стицы о или ее изотопический спин т. Непрерывные же переменные полностью умещаются в классических пространствах.
ЛЕКЦИЯ 9.
СИММЕТРИИ В СИСТЕМАХ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Система ц, состоящая из N тождественных частиц, обладает симметриями, имеющими фундаментальное значение для физики микрочастиц.
Оператор Гамильтона Й такой системы должен быть симметричным относительно перестановок частиц. Это свойство гамильтониана —- математическое выражение самого понятия тождественности частиц: тождественные частицы одинаково взаимодействуют между собой и с внешними полями, имеют одинаковые массы, заряды и другие признаки. Если через
45
iPik обозначить операцию перестановки i-й и /г-й частиц, то для тождественных частиц имеет место равенство
^кЙ = Й. (9.1)
Однако это тривиальное соотношение, справедливое и в классической механике, в квантовой области ведет к особенным последствиям. Для выяснения этих последствий следует обратиться к изучению возможных симметрий статистического оператора р для N тождественных частиц. Я^но, что оператор р может быть симметричным в отношении перестановки частиц. Нетривиальная симметрия относится к перестановкам &ik(q) и SPikiq'), переставляющим частицы только в строках матрицы p(q, q') и только в ее колонках соответственно. Если вспомнить, что любой статистический оператор р — сумма билинейных выражений типа (<?)'Ф* (<?') (здесь i|)(^) — волновая функция), то Pik(q) и Фш(щ') означают перестановки частиц в волновой функции ty(q) и соответственно в функции if* (9')- Поэтому симметрия статистического оператора при подобных перестановках полностью определяется симметрией волновых функций Ч>(<7)-
Рассмотрим волновые функции N тождественных частиц г|з(9ь .Щи Щк, Щи), являющиеся собственными функциями оператора перестановки &ik-
&тУ{Щи •••> Щи Щи, Щы) =
= к$(Щи ..., Щ1.....Щк,...,Щм), (9.2)
где К — собственное значение оператора <Pik. Применяя к уравнению (9.2) вторично перестановку SPik и замечая, что придем к заключению, что
Х2=1. Следовательно, возможные собственные значения оператора перестановки равны А,= ±1.
Поэтому волновые функции системы тождественных частиц распадаются на два класса: симметричные функции i])s(9) и антисимметричные функции. $a{q):
ZPiktys (... я.. •) = + i|)s (... щ...);
Pik^a^) =— Уа(я) (9.3)
46
для любой пары частиц г, k. Соответственно этим двум классам волновых функций возникают два класса статистических операторов для систем тождественных частиц: ps и ра, построенных на функциях tys(q) или ijja(q)- Матрица ps{q, q') имеет структуру суммы ¦ф5(9)'ф«*(9/). а матрица рa(q, q') — структуру суммы ¦фа(9)'15а*(9/)- Первая симметрична относительно перестановок iPik{q), &ik(q'). Вторая антисимметрична относительно этих же перестановок.
В обоих случаях статистические операторы р симметричны относительно перестановок частиц ?Pik =
¦k(q)3>ik(q'). Рассмотренные свойства симметрии статистического оператора не зависят от представления. В приведенных выше рассуждениях под переменными q можно понимать не только координаты частиц, но и любые другие переменные L, которые полностью характеризуют состояние микросистемы |л.
При изменении статистического оператора с течением времени симметрия его сохраняется. Согласно основному уравнению движения приращение статистического оператора р за время dt равно
dp = —[H, p]dt. (S.4)
В силу симметрии оператора Й при перестановке частиц скобка Пуассона имеет симметрию или ря> или ps. Вместе с тем dp имеет симметрию dpa или dps соответственно (см. подробнее дополнение 8).
Поэтому если в какой-то момент времени оператор р принадлежал классу симметричных ps или к классу антисимметричных ра статистических операторов, то это его свойство инвариантно при движении. Деление операторов на два класса носит абсолютный характер.
В согласии с экспериментальными данными ансамбли частиц с целым спином принадлежат к классу симметричных ансамблей, ансамбли частиц с по-луцелым спином — к классу антисимметричных ансамблей (это разделение можно теоретически обосновать в квантовой теории поля [12]).
В соответствии с этим делением различают два типа квантовых статистических ансамблей — две статистики: статистику Бозе—Эйнштейна ps и статисти-
47
ку Ферми—Дирака ра. Для статистики Бозе—Эйнштейна
&ik(q)ps = +ps\ 'ps9)ik{q') = +p$. (9.5)
В случае статистики Ферми—Дирака
&>ik{q)pa = — ра; pa^ikiq') = — ра (9.6)
для любой пары частиц (i, k). Заметим, что свойства
симметрии на языке оператора R(q, р), описывающего квантовый ансамбль в фазовом пространстве M(q, р), выражаются более сложно, а именно:
&ikR{q, p) = ±R(q, р)ехр [i(p— pk) (Xi—xk)/h]. (9.7)
