Квантовая механика. Лекции по избранным вопросам - Блохинцев Д.И.
ISBN 5-211-00098-6
Скачать (прямая ссылка):
-^-1Ь <»1?(0И>= |J(«I#МИЛ |\
(7.19)
Эта известная формула теории квантовых переходов определяет в первом приближении вероятность перехода системы в единицу времени из состояния с L =
— Хт в состояние С L = Xn.
ЛЕКЦИЯ 8.
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
В РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
Рассмотрим уравнения движения для статистического оператора р:
dp/dt+ [Й, р] =0 (8.1)
в раскрытом виде в координатном представлении в пространстве M{q, q').
Ограничимся случаем одной степени свободы. Соответственно возьмем оператор функции Гамильтона (оператор полной энергии) в виде
Й=р2/2т+У (q), (8.2)
где р — оператор импульса; m — масса частицы;
V (q) — оператор потенциальной энергии. В коорди-
натном представлении матричные элементы этого оператора имеют вид
й(|)’q,) = ~?г+уМЧч-ч')- (8.3)
Подставляя это выражение в (8.1), применяя прави-
41
ла умножения матриц и используя при этом интегрирование по частям, получаем
ifl dp(Р,Я') ^ Я2 д2р{д,д') д*р(д, д')
dt 2т dq* 2т дд'2
+ {V(q)—V(q')}p(q,q')= 0. (8.4)
Если ввести новые переменные ? = д'—q и Q=(^' + + Q) /2, то
dp(Q. I) ih d2P
dt m dQd§
+tHq+t)
-V (Q—)}p(Q, ?)~=0. (8.5)
Это уравнение формально можно записать в виде разложения по степеням | (п — нечетные)
dt m dQd% h \dQ \ 2 / JU n\ dQn
3
X
XP(Q,i) = 0. (8.6)
Уравнение (8.6) переходит в уравнение для классической плотности р(<7, р), представленной в пространстве 31 (q, q').
Действительно, если потенциал V'(Q) и матрица p(Q> I) — достаточно гладкие функции, то в (8.6) можно пренебречь высшими производными dnV/dQn, начиная с п=3. В этом случае уравнение (8.6) отличается от соответствующего уравнения классической статистической механики заменой в (3.15) произвольной постоянной hr на постоянную Планка Й.
В этой связи рассмотрим еще одно важное представление для статистического оператора р. Подобно тому как классическую плотность р(д, р) можно представить в пространстве &(q, q'), так и квантовый оператор р(^, q') можно представить в пространстве •фаз 0L{q, р). Для этой цели колонки матрицы p(q, q') будем нумеровать не переменной q', а переменной р.
Этого можно достигнуть, если выполнить «половинное» унитарное преобразование, вводя вместо
42
р(q, q') величину p(q, р), определенную преобразованием колонки q'\
P(Q, p)=fp(q, q")S(q", p)dq", (8.7)
где матрица унитарного преобразования S имеет элементы
S(,'p)“7SScxp(-iJr)' (8-8>
В таком представлении, называемом «смешанным», квантовые операторы отображаются в пространстве фаз dl{q, р) и возникает новая связь с классической статистической механикой (1, 10—12].
Было замечено, что целесообразней вместо матричных элементов р(^, р) ввести новые элементы, отличающиеся от (8.7) множителем ехр(—ipq/H) не обращающимся нигде ни в 0, ни в оо.
Эти новые элементы мы обозначим R(q, р):
р) =p(q> P) exp (—ipq/h)I~j2nh. (8.9)
Такому преобразованию следует подчинить и все другие операторы. Вместо матричных элементов 3?(q, q') будем иметь
L{q, p)=2’(q, p)exp(—ipq/h)/-]/2nh (8.10)
и
3?{q, p)=\S{q, q")exp(—ipq"/h)dq"/^2nh. (8.11)
Пользуясь этими преобразованиями, нетрудно убедиться, что новые матричные элементы L(q, р) в простейших случаях в точности совпадают с соответствующими классическими величинами. Именно
pq,p~p> qq,P=q> (8.12)
H(q, p)=p42m+V(q) (8.13)
{доказательство см. в дополнении 7).
Там же показано, что формула для среднего значения величины L(q, р) принимает «классический» вид:
L=lR*(q, p)L(q, p)dqdp. (8.14)
43
Вероятность найти систему ^ в точке (д) пространства конфигураций M{q) имеет также классический вид:
p)dp. (8.15)
Подобным же образом для импульсного пространства
Р{P)=lR{q, P)dq (8.16)
при условии нормировки
lR{q,p)dqdp= 1. (8.17)
Однако R(q, р) не является вероятностью найти систему (д, в точке (q, р) фазового пространства M(q, р), что противоречило бы принципу дополнительности. Это обстоятельство находит свое выражение в том,
что величина R(q, р), как можно доказать, всегда
комплексная, т. е.
R(q,p)?*R*(q,p). (8.18)
В силу линейности выполняемых преобразований уравнение движения (8.1) сохраняется и для величины R(q, р):
dRldt+[B,R]= 0. (8.19)
Однако конкретный вид операторной скобки Пуассона [Й, совершенно меняется. Именно, в раскрытом виде уравнение (8.19) теперь записывается так (см. дополнение 7):
-^?1 + J ехр тШ) {Н (q, р + ц) R (q + g, р) -
—R(q, p + r\)H(q+l, p)}d%dr). (8.20)
Если заметить, что интеграл
со
Inm= J exp(il4/fi)ln4mdldr\ = (± \%)п+тш\Ьпт (8.21)
—оэ
имеет конечное значение, то можно разложить H{q + l, Р+л) и R(q + l, Р+п) п0 степеням I и ц и
44
выполнить интегрирование по этим переменным. Тогда получается (см. дополнение 7)
dR(q, р)___dR(q, р) dV dR{q, р) _ \П d*R(q, р)
dt т dq dq dp 2 т dq2
А d«V(q) dnR(q, р) ,g 22)
п\ dqn дрп
В случае достаточной гладкости функций R(q, р) и V(q) можно пренебречь правой частью в (8.22). При этом условии уравнение (8.22) для R{q, р) превращается в уравнение для классической плотности p(q, р). Представление квантовой механики в пространстве фаз SR,(q, р) сближает ее с классической статистической механикой в том же пространстве.
