Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Представляя У в виде матрицы (столбца) (60.3), мы можем записать два уравнения (60.10) и (60.10') в виде одного матричного:
Ф = LW (60.11)
(см. (40.14)). В самом деле, (60.11) в развернутом виде означает
Ф =
ф! 0 Lu L12 ti 0 ^1A + ^12^2 0
ф2 0 L2i L22 ^2 0 ^21^1 ~f ^22^2 0
(60.11')
что совпадает с (60.10) и (60.10')., В дальнейшем под символом типа L'P, если взят оператор, зависящий от спина, мы будем понимать именно такого рода произведения, которые в сущности представляют два уравнения (60.10), (60.10') в виде одного матричного.
Среднее значение любой спиновой величины L в состоянии ¦фъ Фг» согласно общей формуле (41.2), есть
1{х, у, г, 0=^r?lA + ^l%2t2 + ^21^X + tl^22^2- (60.12)
Так как функции % и г|з2 зависят еще и от координат центра тяжести электрона, то мы написали Z (л:, у, г, /), имея в виду,
256 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
что получающееся по (60.12) среднее есть среднее от L при заданном положении центра тяжести электрона. Среднее в состоянии фа при любом положении электрона получится по формуле
I (i) = JI (х, у, z, t) dxdy dz. (60.13)
Формулы (60.12) и (60.13) с помощью представления Ч*1 в виде
матрицы с одним столбцом могут быть записаны в виде
1{х, у, z, t) = V+iV, (60.12')
I (t) = IY+Z.'F dx dy dz. (60.13')
В частности,
~ / i\ nr, \bf ib* I 0 1 1 tb, 0
(60.14)
Подобным же образом
ду(х, у, z, t) = ?+аД = — гфТ-фа + й|>гф1, (60.14')
у, z, t) = = ^N>1 - (60.14")
§ 61. Уравнение Паули
Рассмотрим движение электрона в электромагнитном поле, учитывая наличие спина. Согласно основной гипотезе (§ 58) электрон обладает магнитным моментом
mB=-f-cs. (ем)
Благодаря наличию этого момента электрон в магнитном поле
3€ (-Жх, $Жу, vft'z) приобретает добавочную потенциальную
энергию, равную энергии магнитного диполя в поле 3€:
Ш = — (61.2)
Оператор этой энергии, согласно (61.1), есть
AU = ± (sМ) = |L (аЗ€) = е~ (ох<РГх + а^ХГ, + о^Гг) ,(61.3)
где а —вектор-оператор с компонентами ах, ау, аг (59.9) и (59.9'). Поэтому гамильтониан (27.7) для движения заряженной частицы в электромагнитном поле при учете спина должен быть пополнен добавочным членом (61.3), так что он будет равен
Н = ±(р + 7Л')‘~еУ + а+<6М>
(мы полагаем заряд электрона равным — е).
§ G1] УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ 257
Уравнение Шредингера для волновой функции W (i^, i|)2) теперь будет иметь вид
itlW = ^{P + TAJXV-eVW + UW + §-c(a^)4'- (61-5)
Это уравнение носит название уравнения Паули. Заметим, что под У мы понимаем столбец (60.3); поэтому в (61.5) записано в сущности два уравнения для двух функций ^ и ^ в виде одного матричного.
Определим теперь плотность тока. Для этого запишем (61.5) в виде
iftf = + (6f.6)
где через Я0 обозначены члены, не содержащие операторов а. Напишем уравнение для сопряженной функции которую мы представим в виде строки (60.3')
- т ^ = тА'+ + ^ {(оЩ Т)+. (61:6')
Символ ( )+ означает, что в соответствующей матрице столбцы и строки переставлены и элементы взяты сопряженными.
Умножая теперь (61.6) на lF+ слева, а (61.6') на W справа и вычитая одно уравнение из другого, мы получаем
= Y+ (Я0?) - (Я??+) V + ~ {?+ (оЖ) V - {{аЩ ЧГ)+ ЧГ}. (61.7)
Согласно (40.15) имеем
((оЩ ?)+ = ?+ (ог+Я) (61.8)
в силу самосопряженности оператора <т+ = <т. Поэтому член в фигурных скобках равен нулю. Остальные члены, не содержащие операторов <г, после вычислений, совершенно аналогичных приведенным в § 29 при получении формулы для плотности тока, даютх)
| + ^N>2) = — Щ div ttWi ~+ №^2 -^2^1} -
- ~ div [А (iflfo+(61-9)
2) Пользуясь матричной записью, мы все время оперируем с четырьмя функциями г|:f, “ipj, г|?2 сразу. Рекомендуем читателю, впервые знакомяще-
муся с матричными методами, написать уравнения (61.6) и (61.6') в развернутом виде (четыре уравнения) и путем умножения первых двух на iff и tyg, а двух вторых на и г|)2 получить тот же результат.
258 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Переписывая это уравнение в форме уравнения непрерывности для плотности вероятности w и плотности потока частиц J, мы находим
w(x, у, Z, о =^1+^2» (61.10)
i=% + №2^? -i|>?Vi|52)] -
- (61.11)
ИЛИ
w(x, у, г, 0 = J = |l('PV1if+-1F+V4f)-^A1if+?. (61.12)
Эти формулы показывают, что вероятность местонахождения электрона и плотность токов аддитивно слагаются из двух частей, каждая из которых относится к электронам с одной определенной ориентацией спина. Формула для нормировки вероятности имеет вид
5 (ФЖ + 'Фг'Фг) dxdydz= 1 или \^dxdydz=\. (61.13) Величины
Wiix, у, Z, 0=^1. w2 (х, */. z, 0=^2 (61.14)
суть плотности вероятности найти электрон в точке х, у, г . . п п
в момент t с sz = + -j или s2 = — у соответственно.
Величины
wi~\ dx dy dz, | w2 = ^t%dx dy dz J
, ft
суть вероятности наити электрон со спином sz = + у или со
спином sz = — у соответственно. Средняя плотность электрических зарядов ре и средняя плотность электрического тока Je, согласно (61.12), будут равны
ie = ~ [?+W - ?У?+] + ~ A (?+?), J ^61Л6^
pe и Je не описывают полностью всех источников электромагнитного поля в случае электрона. Нужно учесть еще магнитный момент электрона (61.1), создающий магнитное поле. Из (61.1) и общей формулы (60.12') получаем выражение для средней плотности магнитного момента (намагничения I):
