Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
a A A HP
Вычитая теперь y-gp (56.15) из (56.9), находим
(Р* — 7 Л*) =
/1 Л», . ЙИ\ в (дАу дАх\(А е . \
Ш "ЛГ/ \~ЖГ}\У Тлу)~
{р*-тА) + W (VM* -т)- (56Л6)
Но
1 дАх dV дАу дАх <г^, дАх дА2
ж ¦ == —г--5— = &/С и
А dt
_ dU дх
с dt дх *’ дх ду ** дг дх У9
д div А д (дАх дАу\ д (дАг _ дАх\ „
* дх ~~ ду \ ду дх) дг \ дх дг ) Г0 *
Имея еще в виду (56.10), получаем из (56.16)
d2X dU . «о . е Г еуу' ^ 1 е i
^-зг=-лг+^+т\_ z~sr-^y-dr\-i&roi*™-
(56.17)
Операторы скорости и не перестановочны с полем 9€
(если оно неоднородно). Поэтому в (56.17) лучше произвести симметризацию:
*.4--^Ap„-LA,\ = l{p,-LA,\*ir.+ a 9sSr'
dt ~~~ \л z\ у с ™У)~ цУ у с \i ду >
Отсюда следует, что
cy/> dY <p/s* dZ z ~di y ~df =
1 Г сгьу> dY . dY <rvr» cyy* dZ dZ ovs* ~l . ih , «л
= 2 П*St +STST-ST^y\ + 2iTrot*M-
(56.18)
Подставляя (56.18) в (56.17), получаем d*k dU . % .
Рцг- ~SF + e^x +
+lrK.4f+4“5r'-»*'»ji--4ir»]- <М19>
Выражение
Р, - Л,+Щяг, ? + $-*¦,) - [ЯГ, 4 + 4 ЛГ,)]
(56.20)
следует рассматривать как оператор силы Лоренца, действующей в поле Ш, Ж на частицу с зарядом е. В самом деле, классическое выражение для силы Лоренца имеет вид
Fx-a,+i[ jr,?-jr,?\.
Остальные два уравнения для осей OY и OZ, очевидно, напишутся путем циклической подстановки х, у, г.
Переходя от операторного равенства (56.19) к уравнению для средних значений (для чего умножаем (56.19) слева на гр* (х, у, z, t), а справа на ^(л-, у, z, /) и интегрируем по всему пространству), мы получаем теорему Эренфеста для движения в электромагнит-
ном поле
Это уравнение вполне аналогично классическому уравнению Ньютона
Рассмотрим теперь специальный случай движения в однородном электрическом и магнитном поле. В этом случае Ш и дъ не зависят от координат и поэтому коммутируют с операторами
dX dY dZ D
и В силу этого для однородных полей вместо
(56.21) получаем
Уу % суть координаты центра волнового пакета. Сравнение с (56.2Г) показывает, что в однородном электромагнитном поле центр пакета движется по законам классической механики как частица с зарядом е и массой |я.
Если магнитное поле отсутствует, то вместо (56.22) получаем
т. е. имеет место равномерно ускоренное движение центра волнового пакета. Заметим, что в однородном электрическом поле не существует стационарных решений (соответствующие волновые функции обращаются в бесконечность при х = ±оо (смотря по направлению поля #*)). Действительно, согласно (56.23), центр волнового пакета для t = оо должен лежать в бесконечности: поле «сдувает» частицы в сторону падения потенциальной энергии.
В магнитном поле существуют стационарные решения (см. § 57). Они существуют также при одновременном наличии электрического и магнитного полей, если последние перпендикулярны друг к другу.
Из (56.1) и (56.2) следует, что если вместо потенциалов А и V мы введем новые А' и V', связанные с прежними формулами
(56.23)
А' = А + V/,
(56.24)
242
МИКРОЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
[ГЛ. IX
где / — произвольная функция координат и времени, то потенциалы А' и V' описывают то же поле, что и А и К. Действительно,
— УТГ-»,"-*-7Т*+7*3-«-
№’=rot А'=Н-+rot (V/)=34.
Таким образом, потенциалы А, V вплоть до преобразования (56.24), (56.25) произвольны. Но потенциалы входят в гамильтониан Н. Поэтому может показаться, что физические выводы могут зависеть от произвола в выборе А и К. На самом деле это не так. Физические выводы зависят лишь от поля 3f€t
а не от потенциалов А, V. В частности, в уравнение движения (56.21) входят
лишь напряженности полей, а не потенциалы. Это пример, иллюстрирующий правильность приведенного утверждения.
Предоставляем самому читателю прямой подстановкой показать, что если найдено решение уравнения Шредингера
гП-^- = Щ\ (56.26)
где Н — гамильтониан (56.3), то решение г|/ уравнения Шредингера
т?^-=Н'У, (56.26')
где Н' отличается от Н заменой А и V на А' й V' по формулам (56.24) и
(56.25), будет получаться из ф по формуле
¦"-¦М (5в-27>
так как / — действительная функция, то
m2=l*l3, (56.28)
J' = А' I 12=
= <W - Г V4>) - -- а МН2 = J (56.29)
— f • \ так как = -f у/- ty'J.
То есть вероятность местонахождения частицы и плотность тока остаются неизменными при преобразовании потенциалов (56.24) и (56.25), оставляющем неизменным электромагнитное поле. Подобным же образом и все другие физические величины остаются теми же.
Это свойство уравнения Шредингера называется электромагнитной или калибровочной инвариантностью1).
§ 57. Движение заряженной свободной частицы в однородном магнитном поле
Направим ось OZ по направлению магнитного поля. Тогда компоненты поля будут оЛ х — <эЛ у —О, оЛ г = яЛ .
*) Этим же свойством обладают классические уравнения Гамильтона (см. дополнение VI).
§ 5Г] ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 243
Вектор-потенциал А возьмем в виде
Ах = -?Гу, Л„ = Л* = 0. (57.1)
Тогда из уравнения (57.1) получается как раз нужное поле (чем и оправдывается выбор А):
&гх = 0, ¦ ЛГу = 0, = (57.2)
Других полей мы не предполагаем (t/= О, У = 0), поэтому на основании (56.3) уравнение Шредингера для стационарных состояний напишется в виде
