Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
*) Подробности об ортогонализации функций см. в книге Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. I, Гостехиздат, 1951, гл. II, § 1.
634 ДОПОЛНЕНИЯ
III. Ортогональность и нормировка собственных функций непрерывного спектра. 8-функция
Проинтегрируем уравнение для собственных функций
?ф(*, L) = Lq(x, L) (1)
по L в малом интервале AL. Мы получим
L-j-AL
1Дг|з (л-, L) = \ (х, L) dL> (2)
L
где
L+ A L
Дг); (дг, L) = jj ^ (л-, L) dL. (3)
L
Эту величину называют собственным дифференциалом (оператора L). Примером такого собственного дифференциала является рассмотренная в § 7 группа волн. Мы докажем, что не сами функции, а собственные дифференциалы являются ортогональными и могут быть нормированы. Для этого проинтегрируем подобным же образом сопряженное уравнение
(дг, U) = L'ip* (х, L') (4)
по L'; мы найдем
V + AL'
?*Да|э* (*, L') = § L'iJj* (дг, Z/) dl'. (5)
и
Умножим (2) на Дф* (*, L'), а (5) на Д^(х, L), вычтем один результат из другого и проинтегрируем по х. Тогда получим
^ dx {Дф* (дг, L') 1Аф (х, L) — Дг|) (,х, L) ?*Д^* (дг, L')} =
L + AL L' -f- AL'
- ^ dx $ dL ^ dU (L - U) г|>* (*, L') (*, L). (6)
L L'
Левая часть равна нулю в силу самосопряженности оператора I, а справа при малых ДL и Д// мы можем вынести L —L' за знак интеграла.
Тогда получим
(L — U) ^ dx Дф* (,v, L') Д^ (дг, L) = 0. (7)
Если интервалы ДL и ДU не перекрываются, то L^L\ Отсюда
следует
$ dx Дг|)* (дг, L') Дг|) (*, L) = 0, (8)
т. е. ортогональность собственных дифференциалов. Если AL и Д// совпадают, то интеграл (8) не равен нулю. Нетрудно пока-
III. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 635
зать, что он будет первого порядка малости относительно ДL.
В самом деле, интеграл
I=*\dx Дф* (*, L) Дг|) (х, L) (9)
можно заменить интегралом
и
Г = J dx Дф* (*, 1)$г|)(х, L)dL, (10)
i-1
причем Lt и L2 выбраны так, что участок (L, L + Д^) лежит внутри участка (Lb L2). В силу ортогональности собственных дифференциалов интеграл по участкам (Lb L) и (L-fAL, L2) ничего не добавит к интегралу (9). Поэтому (9) и (10) равны. Но при Д?->0 (10) стремится к 0 как ДL. Поэтому, выбирая подходящий нормировочный множитель, можно всегда сделать так, чтобы
1- 1 lim
AL-0
т. е.
J d* Дф* (х, L) Дф(х, 1) = Д? (И)
при AL-vO.
Формулы (8) и (И) можно объединить в одну, выражающую нормировку и ортогональность собственных дифференциалов:
$ dx Дг|?* (х, L') Дф (х, L) = AL или 0, (12)
в зависимости от того, совпадают интервалы L, L-\-AL и L', L'-{-AL или нет. Освобождаясь от одного интегрирования (по dL) в (12), мы можем написать (12) в виде
^хДф* (х, //)ф(х, L)= 1 или 0, (12')
смотря по тому, попадает ли точка L' = L в интервал L',L'-f-AL
или нет. Условие ортогональности и нормировки (12) или (12')
может быть с помощью особого символа сформулировано для самих функций. Для этого поменяем в (12') порядок интегрирования по х и dL':
L'+ AL
^ dU $ ур (х, L) ф* (*, L') dx = 1 или 0. (13)
L
Введем обозначение
^i];*(,v, L') xf)(x, L) dx~6(L' — L). (14)
Тогда из (13) следует
L' + AL
5 dL'8 (U — L) = 1 или 0, (15)
636
ДОПОЛНЕНИЯ
смотря по тому, попадает ли точка L' = L в интервал L', Z/ + AL или нет. Это последнее равенство мы будем рассматривать как определение символа б (L'— L), называемого 6-функцией или функцией Дирака (на самом деле это не функция, а просто обозначение).
Из (15) следует ((21.11)), что
ь
\f(L')6(L'-L)dL' = f(L) или 0, (16)
а
смотря по тому, попадает ли точка L' = L в интервал (а, Ь) или нет. Для доказательства (16) достаточно разбить интервал (а, Ь\ на столь малые участки, чтобы в каждом из них можно было вынести функцию f (L') за знак интеграла (для этого она должна быть гладкой). Во всех участках результат интеграции в силу (15) будет равен нулю, кроме, однако, как угодно малого, содержащего точку L' = L. В этом участке интервал от б, согласно (15), будет равен 1.
Вместо того чтобы говорить о нормировке и ортогональности собственных дифференциалов (12), мы будем говорить, что собственные функции нормированы к б-функции (14).
В качестве примера приведем нормировку собственных функций оператора импульса Рх. Эти функции суть
.рхх
%x(x)--=Np/ \ (17)
где Npx — искомый нормирующий множитель, могущий a priori зависеть от рх. Образуем интеграл (14):
+со .(p'x-pj*
№{x)^px{x)dx = Nl'xNpx $ е Л -dx =
—ОО
+т (Рх-Рх)х
= NPNP ft lim \ ^ =
* m-оэ J П
—пг
= Nl;Hrn lim - --»............ (18)
m-+co \r x
Сравнивая это с множителем Дирихле lim -- —n Шс , облада-
т-+со п 2
ющим свойством б-функции от г (см. дополнение I, формулу (1)), мы находим, что
$ Фх (х) typx (X) dx = Np'xNp2nh6 (р'х - рх). (19)
IV. ЗНАЧЕНИЕ КОММУТАТИВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ 637
Отсюда определяем нормирующий множитель
| WpJ2 2яй = 1, ^рх = (2я//)-1/2 (20)
(разумеется, еще можно было бы включить фазовый множитель е1Ч>(рх), где ср — действительная функция, однако в этом нет никакой надобности).
IV. Значение коммутативности операторов
Докажем теорему: если два оператора L и М имеют общую полную систему собственных функций, то они коммутируют. Обозначим общие собственные функции, через 'ФЛ*)- Тогда имеем
