Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
со = со0 + )о (^ ~?о) ~Ь • • • > k = k0-\-(k — k0).
Взяв k — k0 в качестве новой переменной интегрирования I и считая амплитуду c(k) медленно меняющейся функцией k, найдем, что •ф (д:, t) может быть представлено в виде
гр (л:, t) = с (k0)?i{Mot-koK) § еЧ \/о
-Мг
Выполняя простое интегрирование по ?, найдем
sin \ (тй) * —
У(Х, t) = 2e(k0)—Ц-Рг---------- —-е1^ к'х) = с(х, /).<?* «“o'-м>. (7.9)
_________________
х) В нерелятивистской теории энергия всегда определяется вплоть до аддитивной постоянной. Поэтому энергию покоя частицы т0с2, при определении кинетической энергии, обычно опускают.
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
39
Так как под знаком синуса стоит малая величина Ak, то с(х, t) будет медленно меняющейся функцией времени t и координаты х, поэтому с(х, t) можно рассматривать как амплитуду почти монохроматической волны, а (о)0t — k0x) — как ее фазу. Определим координату х, где амплитуда с(х, t) имеет максимум. Эту точку будем называть центром группы волн. Очевидно, искомый максимум будет находиться в точке
Отсюда следует, что центр группы будет перемещаться со скоростью V, которую мы найдем, дифференцируя предыдущее равенство по t\ именно,
Н»).- (7'10)
Эту скорость мы будем называть групповой скоростью (в отличие от скорости фазы, равной со/60). Если бы рассматриваемые волны не обладали дисперсией, то мы имели бы V = и. В случае волн де Бройля из-за дисперсии V Ф и. Вычислим, пользуясь
(7.7), групповую скорость V:
у _
dk mQ'
Согласно (7.3) Hk = p, с другой стороны, р = m0v, где v — скорость
частицы. Поэтому мы приходим к важному выводу:
V = v. (7.11)
Итак, групповая скорость волн де Бройля равна механической скорости частицы v.
Полученные нами соотношения (7.10) и (7.11) могут быть легко выведены для распространения волн в любом направлении по отношению к осям ОХ, OF, OZ. Предоставляя этот вывод читателю, приведем здесь лишь окончательный результат:
У дсо _ дЕ у __ дсо дЕ у __ дсо ___ дЕ
х dkx ~~ дрх 9 у ~~ dky\ ~~ дру' г~~ dk2 ~~ дрг *
или в векторной форме
V — Vkco = \РЕ = v. (7.1 Г)
Вычислим для двух случаев длину волны де Бройля. Из (7.3) следует, что
А, = 2| (7.12)
Ограничиваясь случаем малых скоростей v с и пользуясь равен-ством Е = мы получим
A = ^L=. (7.12')
У 2 т0Е ' '
40
основы квчнтовоп ТЕОРИИ
[ГЛ. I
Эта формула позволяет вычислять длину волны А,, зная массу т0 и энергию частицы Е.
Применим эту формулу к электрону. В этом случае /7t0 = 9 -10~28г. Выражая энергию электрона в эв, для чего положим Е = eV, где е — заряд электрона, а V — ускоряющая электрон разность потенциалов, измеренная в вольтах, мы найдем
-/-ТА (7.13)
Для V = 1 оэв получаем К = 12,2 А, для V = 10000 эв получаем к = 0,122 А. Вычислим длину волны для молекулы водорода, имеющей энергию 6 • 10~14 эв, что равно средней энергии молекулы водорода при температуре 300°. Масса молекулы равна 2-1,66 ох X 10'24 г. Подставляя эти величины в (7.12'), найдем X = lA.
Как видим, длина волны де Бройля очень мала; она тем меньше, чем больше энергия частицы и ее масса. Практически, например, совсем не удается получить длину волны X, равную длине волны видимого света, так как уже с электронами, обладающими энергией в 1 эв, весьма трудно экспериментировать, а при X = = 10"5 см мы имели бы дело с электронами, энергия которых равна всего лишь 1,2*10 4 эв.
В современных ускорителях получают частицы очень высоких энергий. Следовательно, такие ускорители можно рассматривать как источники волн крайне короткой длины. Если энергия частицы много больше энергии покоя Е т0с2, то из (7.6) имеем Е & рс
и, следовательно, длина волны в этом случае равна
к = ^. (7.14)
Для протонов или мезонов, при энергии Е = 10 -г- 20 Гэв, Я = = 1,26-10 14 -г- 6,3 • 10 см. С помощью таких коротких волн можно изучать внутреннюю структуру элементарных частиц.
Идея о связи движения частицы с движением волны была столь чужда установившимся в механике представлениям, что казалась чистой фантазией, и только опыт мог заставить принять ее как ценный вклад в науку. В каких же явлениях следовало искать подтверждения или, напротив, опровержения представления о волновых явлениях при движении частиц? Независимо от природы волн существует совокупность явлений, присущих только волнам. Это — явления дифракции и интерференции. Оба явления обусловлены сложением волн с определенными фазами и амплитудами, и их существование вытекает из самой природы волнового движения. Поэтому для проверки идеи де Бройля следовало обратиться к опытам, в которых можно было бы обнаружить эти явления, оперируя с частицами. Из оптики известно, что явление дифракции только в том случае заметно, когда расстояние между штрихами дифракционной
ДИФРАКЦИЯ МИКРОЧАСТИЦ
41
решетки сравнимо с длиной волны дифрагирующих волн. Если делать опыты с электронами, то согласно приведенному выше расчету длина волны де Бройля по порядку величины равна 1 А, а для атомов еще меньше. Поэтому условия для наблюдения дифракции электронов примерно таковы же, как и условия для наблюдения дифракции рентгеновских лучей, так что подходящей дифракционной решеткой могут быть лишь кристаллы, где расстояние между «штрихами» — атомами кристалла, по порядку величины равно
