Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
(импульса, энергии, момента импульса и т. п.), которые изображаются волновыми функциями ^2, то, согласно принципу суперпозиции, существует сложное состояние:
tf = c1% + c2tk+... + fA + ..., (11.1)
где с1у с2, ..., сп, ... — произвольные, комплексные амплитуды.
Если состояния, входящие в суперпозицию, отличаются друг от друга бесконечно мало, то вместо суммы (11.1) мы будем иметь интеграл.
Важным примером суперпозиции последнего рода является представление произвольного волнового поля г|? (.х, у, г, t) в виде суперпозиции волн де Бройля х)
1 (Я/ —рг)
i'p(x, у, z, t) = -^pe л . (11.2)
Волновую функцию любого состояния можно написать в виде
+ 00
(*, У, Z, 0 = ШС (рх’ Ру’ Р*' оы*. У, г. О dpx dpy dpz, (11.3)
— СО
где с (рху ру, pZt t) — амплитуда волны де Бройля, имеющая импульс р (pXf ру, рг).
Утверждение очевидно, так как (11.3) есть не что иное, как разложение г|? (.х, у, г, /) в тройной интеграл Фурье. Чтобы в этом убедиться, обозначим
-iE-
Ч>(Рх, Ру, Рг, t) = c(pxt ру, рг, t)e 111. (11.4)
Тогда на основании (11.2) формула (11.3) может быть записана в виде
+ Рхх+РиУ + Рг* Аг,
с ( с „ .. _ V4 ?---~dpxdpydp2
. . . (2л hfl2
— оо
Отсюда по известной теореме Фурье об обращении интеграла (11.5) мы находим для каждой функции г|) амплитуду <р, а вместе с тем и с:
+ оо <РХХ+ РуУ + Pzz
ф (Рх, Ру, Рг> 0=5 ^ У, г, t)fl Л (11.6)
— 00
Таким обр'азом, мы видим, что любое состояние можно рассматривать как суперпозицию волн де Бройля, т. е. состояний с заданным импульсом частицы р (рх, ру, р~).
ф(*. У, 2, 0 = \ \ \ 9(P.V, Ру, Рг, t)e л * " г. (11.5)
*) Множитель 1/(2лЬ)‘^2 введен из соображений нормировки, целесообраз-ность которой вскоре выяснится (см. (12.6)).
ВЕРОЯТНОСТЬ ИМПУЛЬСА МИКРОЧАСТИЦЫ
55
§ 12. Вероятность импульса микрочастицы
Мы показали, как на основе статистического толкования волн де Бройля можно определить вероятность местонахождения частицы. Сейчас мы увидим, что принцип суперпозиции позволяет расширить статистическое толкование, так что оказывается возможным определить не только вероятность тех или иных значений координат частицы, но и вероятность тех или иных значений ее импульса р.
Формулу де Бройля
р = Йк, |к | — ^
мы будем рассматривать как определение величины р, которую в квантовой механике мы будем называть импульсом частицы *). Следовательно, измерительные операции, которые определяют р, таковы же, как и измерительные операции, необходимые для определения направления распространения волны и ее длины К. Поэтому прибором, измеряющим импульс частиц, может служить дифракционная решетка. В самом деле, дифракционная решетка разлагает в спектр — разделяет волны с различными к, а следовательно, вместе с тем и производит «сортировку» частиц по различным импульсам р = Ш.
Дифракционный опыт, позволяющий определить к, мы будем рассматривать как «прямой» опыт, определяющий и импульс частицы р.
Чтобы рассмотреть теперь вопрос об определении вероятности того или иного значения импульса частицы, обратимся к опыту по дифракции частиц (например, электронов) на поверхности кристалла. Суперпозиция волн де Бройля, образующая волновое поле г|э (х, у, г, t) при дифракции на поверхности кристалла, схематически изображена на рис. 14, где показаны падающая (/), отраженная (г) и одна из дифрагированных (d) волн. В соответствии с реальными условиями предположено, что первичная волна представляет собой
2) В связи с данным нами определением импульса микрочастицы может возникнуть вопрос: почему вообще величину р = Ш следует называть импульсом? Ответ на этот вопрос заключается в том, что определенная таким образог^ величина на самом деле обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам? импульса ркл в классической механике (ср. §§ 32, 33, 103). В § 34 показано, чтс классический импульс ркл (подчиняющийся уравнению Ньютона) есть среднее квантового импульса
Ркл» р.
В частности, для состояния с определенным значением р имеем ркл = р. Благодаря этому р может быть также измерено, скажем, по отдаче при ударе, как это делается в классической механике для определения ркг
56
основы квантовой механики
[ГЛ. II
ограниченный диафрагмой пучок. Такими же пучками являются и вторичные волны.
Каждый из пучков мы можем представить в виде волны де Бройля г|'р (х, у, г, t) с амплитудой с (р), медленно меняющейся в направлении, перпендикулярном к пучку1). Все волновое поле г]; представим как суперпозицию полей, принадлежащих отдельным пучкам:
ф = 2>(р)фр. (12.1) р
где сумма взята по всем пучкам.
В целом состояние гр является состоянием с неопределенным импульсом частиц, так как оно представляет собой суперпозицию состояний ifp с различными импульсами. Поэтому, если мы будем производить измерение импульса частицы, то мы можем получить в каждом отдельном измерении одно из значений р, содержащихся в суперпозиции
(12.1).
Какова вероятность того, что мы получим значение импульса, равное р? Дифракционная решетка разложит нам волновое поле на монохроматические (в действительности — почти монохроматические) пучки, так же как она разлагает белый свет на отдельные спектральные чистые компоненты. Чтобы подсчитать число частиц, имеющих импульс р, поставим цилиндр Фарадея и будем определять число частиц, попадающих в него при различных его положениях. Вблизи поверхности кристалла мы имеем сложное волновое поле, представляющее собой результат интерференции всех пучков. Вдали же от кристалла пучки разделяются. Вероятность того, что в цилиндре обнаружится частица, согласно статистической интерпретации волновой функции, будет пропорциональна | (х, у, г, /) |2, где х, у, 2 —координаты цилиндра. Если мы
