Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Всегда ли можно рассматривать совокупность частиц как механическую систему с соответственно большим числом степеней свободы? Ответ должен быть отрицательный. Рассмотрение системы частиц с координатами хгyxzu х2у2г2» •••, xNyNzN как механической системы с 3N степенями свободы возможно лишь при условии, что между частицами не действуют запаздывающие силы (или при приближенном рассмотрении таких сил). Иначе говоря, все силы взаимодействия должны зависеть лишь от мгновенных значений механических величин, относящихся к нашим частицам (например, от их координат и скоростей в данный момент времени), а не от их значений в прошлом, как это бывает при действии запаздывающих сил. Это условие не является особенностью квантовой механики, Оно таково же и в классической механике,
440
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
Поясним это условие на примере электромагнитных сил. Пусть расстояние между частицей номера / и частицей номера k есть rjk. Тогда время, в течение которого распространится электромагнитное возмущение от одной частицы к другой, равно т ^rjklc, где с — скорость света. Для того чтобы можно было считать силы мгновенными, необходимо, чтобы за время т расстояние между частицами мало изменилось. Если относительная скорость частиц вдоль
rjk есть Vjb, то изменение rjk за время т есть Arjk = Vjk4,=—^— и наше условие принимает вид
Vik ' rib
</> т- е* vJk<c.
Следовательно, относительные скорости частиц должны быть гораздо меньше скорости света с. Короче говоря, это всегда можно сделать, если мы ограничиваемся нерелятивистской областью скоростей.
Если vr^cy то сверх того, что мы должны будем учитывать и релятивистские, и квантовые эффекты, мы должны будем вместе с механическими уравнениями для частиц рассматривать еще и уравнения электромагнитного поля, которые управляют распространением взаимодействия от одной частицы к другой.
Относящиеся сюда вопросы выходят за рамки этой книги и вообще они еще не разрешены полностью современной теорией1).
Поскольку же v<^c, мы можем рассматривать квантовую механику системы частиц как механику одной частицы с многими степенями свободы.
Если у нас имеется N частиц с координатами xkykzk (&=1, 2, 3, ..., Af) и с массами mk, то волновая функция г|э в этом случае будет, как всегда, функцией координат всех степеней свободы нашей системы и времени т. е. функция 3N+1 аргументов2):
Op = (*ь Уи Zi, ..., xk, у*, zk, xN, уи, гдг, t). (102.1)
Она определяется, таким образом, в пространстве 3N измерений, в так называемом пространстве конфигурации системы. Название этого фиктивного пространства проистекает от того, что задание координат точки в этом пространстве есть задание трехмерных координат (хк> уку zk) для всех частиц (6=1, 2, 3, ..., N) нашей системы и, следовательно, определяет расположение (кон-
*) В. Г а й 1 л е р. Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956; П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960; Г. Вентцель, Введение в квантовую теорию волновых полей, Гостехиздат, 1947. Особенно: А. И. А х и е з е р, В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика, «Наука», 1969.
2) Чтобы не усложнять вопроса, мы не рассматриваем сейчас спина частиц.
§ 102]
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ
441
фигурацию) всех частиц системы в трехмерном пространстве. Поэтому точку пространства конфигураций с 3N координатами (*ъ Уъ *19 •••> zn) называют изображающей (систему)
точкой.
Обозначим бесконечно малый элемент объема в пространстве конфигураций через dQ:
dQ = dXi dyx dzx... dxk dyk dzk... dxN dyN dzN. (102.2) Тогда величина
w(xu Уи ZU xk, yk, zk, xN, yN, zN, t)dQ = 'i[>*^dQ (102.3)
есть вероятность того, что изображающая точка лежит в элементе объема dQ пространства конфигураций в момент времени /, т. е. вероятность конфигурации системы, при которой в момент t координаты первой частицы лежат между хъ x± + dxь уъ yi + dyLi zu Zj, + dzu ..., k-й частицы - между хк, xk + dxk, ук, yk + dyk, zk, zk + dzk и т. д.
Наряду с элементом объема (102.2) рассмотрим элементы объема в подпространствах типа dQk, d?lkj, ••• и т. д., определенные по формулам
d?l — dxkdykdzkdQk, (102.4)
d?i = dxkdykdzkdx/dyjdZjdQkj и т. п. (102.4')
Интегрируя (102.3) по координатам всех частиц кроме к-й, т. е. по dQk, мы найдем вероятность того, что координаты k-n частицы лежат между хк, xk + dxk, ук, yk + dyk, zk, zk-\-dzk при любом положении других, иными словами, мы найдем вероятность того, что k-я частица находится в данном месте пространства. Обозначая эту вероятность через w (хк, ук, zk, t), мы получаем
W (Хк, Ук, Zk, t) dxk dyk dzk = dxk dyk dzk \ dQk. (102.5) Подобным же образом величина w(xk, Ук, zk, Xj, ij), zh t)dxkdykdzk dxjdy/dzj^
= dxk dyk dzk dx/ dy,- dzj dQk/- (102.5')
есть вероятность того, что k-я частица находится около точки хкукгк, /-я частица одновременно около точки XjijjZj. Таким образом, зная волновую функцию г|з, заданную в пространстве конфигураций, можно определить вероятность данной конфигурации системы
(102.3), вероятность положения любой из частиц (102.5) и, наконец, вероятность того или иного положения пары частиц (102.5') и т. п. Равным образом по общим формулам квантовой механики, разлагая •»]> по собственным функциям какого-либо из интересую-
