Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Д (k) = eql ( | igkn - l) + e41 (•? tg krx + l) = 0, (99.18)
-J-tg ^+1 = 0.
(99.19)
fj2 1
E°n== 2]Г^« + уг'^> n= 1,2,3,...
(99.20)
равны . В этом случае мы имеем стационарные состояния. При
1
dk
получим
dq
Отсюда находим Д&.
*) Для достаточно глубокой ямы (Um->co)qm-^cof вместо (99.19) имеем tgkrx — 0, knrx — nnt /2=1, 2, 3, ...
430 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИЛЛЬНЫП БАРЬЕР [ГЛ. XVI
При этом малую поправку к действительной части k0 мы также можем опустить, как не представляющую интереса. Мнимая же часть будет равна
<99.21)
Пренебрегая также малой поправкой к действительной части k в (99.13), мы можем положить = kl. Из (99.13) получаем
Сравнивая это с предыдущим выражением для Д&, мы находим Я= — гтгьйтгг—те'29°'- ("-23)
f1 (Чо+hf (1 i)
Имея в виду, что hk0l(я есть скорость частицы v0 внутри барьера
и что k0?& l//'i= l/r0(r0 — радиус ямы), мы получаем из (99.23) и
(99.13)
2>l(Um~E)l. (99.24)
Эта формула имеет простое наглядное толкование. есть число
ударов частицы о внутреннюю стенку барьера в 1 сек, а экспоненциальный множитель есть коэффициент прозрачности.
Отметим еще некоторые особенности рассмотренной задачи. Мнимое значение волнового вектора к приводит к тому, что интенсивность излучаемой волны
~eikr неограниченно растет по мере удаления от потенциального барьера
ik0r -f - г aeikr е 0
^Ш=—— = «------------- -----•
Рост вытекает из требования, чтобы имелось только излучение, и
отвечает тому факту, что на больших расстояниях находятся частицы, вылетевшие раньше, еще тогда, когда интенсивность | |2 внутри самого барьера
была больше. Однако в нашем методе решения мы не учли того обстоятельства, что излучение на самом деле когда-то началось (а не длилось Есе время от t — — оо) и что к моменту начала излучения | |2 было конечно. Поэтому наш
вывод о том, что г|)ш -> со при г-» со, вывод, относящийся к частицам, вылетевшим очень давно, неверен, и само найденное решение справедливо лишь * ^ 2k0li для небольших г, именно для г % --.
А|Я
Далее отметим, что в связи с формулой (99.7) в литературе часто говорят
о мнимой энергии. Следует иметь в виду, что такое выражение имеет лишь чисто формальный смысл. Найденное нами состояние
E0t I
ТРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
431
не есть стационарное состояние с определенным значением энергии (стационарные состояния гармонически зависят от времени).
Чтобы определить вероятность найти то или иное значение энергии Е в этом состоянии, нужно разложить (г, t) по собственным функциям 'фя(г) оператора Н. Так как JJ (г)> 0, то собственные значения этого оператора образуют непрерывный спектр О^Е < + оо (ср. § 49). Если положить
со . Et
ty(r, /)= § С(Е)е h tyE(r)dE, (99.26)
о
то w (Е) dE = | С (Е) |2 dE дает искомую вероятность. Однако мы не можем воспользоваться для вычисления С (Е) функцией \|)(r, t) (99.25), так как она правильна лишь для не очень больших г. Поэтому мы изберем обходный путь, именно, будем считать, что г]; (г, t) имеет корректное поведение в бесконечности, а начальная функция г|э (г, 0) отлична от нуля заметным образом лишь внутри барьера, так что вид функции г|э (г, 0) соответствует тому факту, что при / — 0 частица находится во- внутренней области барьера. Определим амплитуду а(/), с которой представлено состояние яр (г, 0) в состоянии г}5(г, t). Имеем
a (t) = ^ \}э* (г, 0) г|э (г, t) dv. (99.27)
Подставляя сюда ty(r, t) и г|э* (г, 0) из (99.26) и пользуясь ортогональностью функций г|)? (г), найдем
оо . Et со . Et
a(t) = \j <Г ‘х С (Е) С* (Е) dE = $ е~ ‘ го (?) dE. (99.28)
о о
Величина Р (t) = | а (t) j2 дает, очевидно, закон распада состояния я)) (г, 0). Как видно, форма этого закона определяется рас-
пределением энергии w (Е) dE в начальном состоянии1).
Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем г|) (г, 0) так, чтобы гр (г, 0) = ij^0 (г) внутри барьера и г]; (г, 0) = 0 вне его. Подставляя теперь яр (г, /) из (99.25) jb (99.27), мы можем игнорировать возрастание ^о(г) вне барьера, так как там г|)(г, 0) = 0. В силу совпадения г|э(г, 0) и ^о(г) внутри барьера и считая, что гр(г, 0) нормировано к 1, получим
-ihL-lLt
a (t) = e h 2 . (99.29)
!) Эта теорема принадлежит Н. С. Крылову и В. А. Фоку (ЖЭТФ 17, 93 (1947)).
432 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
На основании (99.28), теперь нетрудно убедиться, что w(E)dE должно быть равно *)
ш (Е) dE = %--------й1-тяг, (99.30)
^ (Е — Е 0)2 -)-
т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения
энергии. Величину А? = -— называют шириной квазиста-
ционарного уровня Е0. Если через т = 1Д обозначить среднюю продолжительность жизни частицы в состоянии г|) (г, 0) = = ij)0(r), то мы получаем
Д?т=-| (99.31)
— соотношение между шириной квазистационарного уровня и длительностью жизни частицы на этом уровне.
§ 100. Теория радиоактивного а-распада
Известно, что многие радиоактивные элементы распадаются, испуская а-частицы. По вылете из атомного ядра а-частица, имея двукратный положительный заряд (+2е), ускоряется в кулоновском поле атомного ядра, заряд которого обозначим через Ze (под Z будем подразумевать номер элемента после вылета а-частицы, Z = Z' — 2, если Z' есть номер элемента до радиоактивного распада).
