Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть У/1Ш| — общие собственные волновые функции операторов Щ и Миу Yj2m2 то же для Щ и M2z. Тогда произведение
У/iтУып2 будет собственной функцией оператора проекции пол-
ного момента
A4Z = N[\z -f" M2z
с собственным значением т — т1-\-т2.
Обозначим через У!//,/, общую собственную функцию операторов УЙ2 и М;. Ее можно представить как линейную комбинацию
45G
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XVII
произведений YjimiYhnh:
Yjij, = t 2 \Jm)YjinhY(106.1)
— —/1 m2 = — /2
Коэффициенты {jijvtnitiu | Jm) являются действительными чпс-лами и называются коэффициентами Клебша — Гордона (Жордана)1). Они равны нулю при тфт^-т*, так что двойная сумма в (106.1) фактически сводится к однократной. Функции К7/,/2 зависят от тех же переменных, от которых зависят функции Yjlflhi Yjtmt. В частности, если одна из них есть функция угловых координат, другая — спиновых, то соответствующая Yn}jij2 называется сферической функцией со спином. Именно этот случай был нами рассмотрен в § 63, где находились собственные функции полного момента — спинового и орбитального для одной частицы. Коэффициенты при YUm и Уи в формулах (64.28) и (64.28') и суть не что иное, как коэффициенты Клебша —Гордона для случая2) /2 = V2. Спиновые волновые функции в этих формулах заменены их значениями (01).
Выражение (106.1) допускает обратное преобразование
1'/,/Лт,= 'if 2 (hh"hm2\Jm)Yyilh (106.2)
^ = l/l — /2 I tn=— J
(сумма по m содержит фактически один член т^=т1-\-т2).
Из условий ортогональности систем функций Y)т и Yy]t/2 следуют условия ортогональности для коэффициентов Клебша — Гордона, а именно
А /2
2 2 (/l/2«V«2 I Jtn) (/i/2/«l/«2 I J'm') = bjj-bmm’, (106.3)
mi — — 11 m2—- /2
/1 4- /2 J
2 2 (iihJnim2\Jrn) (jli2ni'lm!i\Jm) = 8mim'8m2m',, (106.4)
J=\ /1 — /2 I m=— J
2 I Jm) \Jm) = . (106.5)
rtliin
J) Подробно см. К- Кондон, Г. Шортли, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949. По поводу обозначений см. А. С. Давыдов, Теория атомного ядра, Физматгиз, 1958.
2) т в (64.28') соответствует т1 в (106.1), / -» /lf т_t у m.
§ 10G1 СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 457
Коэффициенты Клебша — Гордона удовлетворяют также некоторым условиям симметрии, а именно,
(jijimim21 Jm) =-"¦ (—l)/|-,-/-“y (/1/2, —tnu — m»\J, — m), (106.6)
(/1/2/И1Ш21 Jm) = (— l)h + h-J (joj^nii I Jm), (106.7)
V2Д + 1 \Jm)— __________
— (—1)'J^’"2V2-/ + 1 (J/2. —"г. niil/i. — Wi), (106.8)
У 2']г + 1 (/i/V»im-i =
= (— l)'‘-m‘|/2/+ 1 (hJmu — m|/2, — ш2), (106.9)
j/2/T+l ( jihtrhnu \Jm) = ______
= (— 1)/>-^+т2"[/2У4-1 (jzJnio, — m\ji, — тг). (106.10)
Приведем табл. 2 и 3 коэффициентов Клебша — Гордона для /2 = и 1.
Таблица 2 Коэффициенты Клебша—Гордона ~ ntitn21 Jm\
J 1 Ш2 = Т 1 т.= -т
h+Y 1 • , , 1 \1/2 / + /я + 2 / . , 1 \1/2 л-« + т
\ 2/1 + 1 ) \ 2Д+1 )
1 (ь-т+ъ У'2 ( /i + m + у \ ‘
\ 2/J+1 ) \ 2 j\ + 1 /
Благодаря свойствам симметрии коэффициентов Клебша —Гордона эти таблицы могут использоваться во всех случаях, когда любое из квантовых чисел •/ь /2, J равно 1/2, 1. Обратим внимание читателя на значение некоторых коэффициентов Клебша — Гордона. Если «/ = /1 + /2» то
(/1/2» /1/21 JJ) = (/1/2» —/ъ —/21 —J) — 1 (106.11)
для любых значений Д и /о. Для случая сложения двух анти-параллельных спинов имеем
Таблица 3
00
Коэффициенты Клебша — Гордона (j\\ | Jtn)
J т% = 1 m* = 0 m2 = —1
/1+1 Г (/ + «) O' + m+l) I1'2 Г (/i — m + 1) (/l ~5rm + 0 11/2 Г (/.-m)(/i-m+l) I'/2
L (2y’i+1) (2/i + 2) J L (-2/i+D o'i+D J L (2/1 + 1) (2/1 + 2) J
/1 r(/i+m)(/i-m + I)ll/2 m I (/l — «0 (/i + m+l)]1'2
L -/l C/i + 1) J K/iO'i + 1) 1 ‘2Д (/! +1) J
/1-1 Г(ii — m) Ui — m+ 1)1 >/2 [ Ui — m) (/i + m)]i/2 Г(/| + /я+1)(/, + т)]1'2
L ^y’i(2/i+l) J L /i(2/i+l) J L 2/i (2/i+D J
ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ [ГЛ. XVI
§ 1071 СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 459
т. е. волновая функция системы двух антипараллельных спинов будет
S (sn, s-2) = ~ I S , (s-O S ,(s,2)-S ,(szl)S .(srt) 1 (106.13)
V2l 2 ~2 ~2 +2 J
(cm. (121.13)).
Общая формула для коэффициентов Клебша — Гордона приведена в работе Вигнера1).
§ 107. Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени
Физическое пространство обладает свойством однородности и изотропности. Время — свойством однородности. Кроме того, в отношении обратимых процессов имеется равноправие по отношению к знаку времени.
Эти свойства пространства и времени отображаются в основных законах сохранения квантовой механики для замкнутой системы
А. Закон сохранения энергии
Рассмотрим следствия однородности времени. Произведем бесконечно малый сдвиг во времени Д/. Тогда волновая функция системы г|з перейдет в = <ф (хь х2, ..., xNy t + kt). Это изменение функции мы можем рассматривать как действие бесконечно малого унитарного преобразования S* (см. §§ 28, 44):
= (107.1)
где Sf=l-\-iLAt и L — эрмитов оператор.
С другой стороны, а|/ — -ф = ^7 At и, сравнивая с (107.1), получим
Это уравнение совпадает с уравнением Шредингера и
Л 1 Л.
l = — ;-я.
Но в силу однородности времени L, а следовательно, и Я не
dt
дН А
должны зависеть от времени, т. е. -^- = 0, а следовательно, и
