Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
') Здесь со S3 ехр ( — I'Ha/'I); обозначения те же, что в работе Херринга [78].
Таблица 18в
Неприводимые представления (*Д/) полной группы 0\; см. табл. 186
х(*д) (/) Смежный класс
{г |0) {S2J?|0} {"ху 1 °} {ММ {*« 1М
*Д 1 6 2 2 ха 4 cos —г~ 4 о 2 cos —т— 4
*Д2 6 2 —2 ха 4 cos —г-4 о ха —2 cos —— 4
*Д2' 6 2 2 ха —4 cos —т— 4 о —2 cos —г— 4
*ДГ 6 2 —2 ха —4 cos —г-4 2 cos —т-4
*Д5 12 -4 0 0 0
Отметим, что единственная разница этих неэквивалентных не-
приводимых представлений заключается для каждой пары в знаке характеров элементов (представителей смежных классов)
Kl*i} и {64*| rj. (18.4>
Рассмотрим теперь последовательность векторов k вдоль пути
*!->-Л,->Г, (18.5)
144
Глава 2
т. е. рассмотрим вектор k в направлении [100], растущий до границы зоны и выходящий из нее. В компонентах вектор k (18.5) имеет вид
(0, о, 0)-*¦ (%, о, о) -*¦ (—•» 0, о) -*¦ + и> 0, о) —>
°. °)^(°. °. °). (18-6)
Напомним, что вектор обратной решетки (умноженный на 2л) есть 2пВн = (4п/а, 0, 0), см. табл. 3. Рассмотрим теперь два волновых вектора, связанных соотношением
k = (х, 0, 0) = (и', 0, 0) + (4п/а, 0, 0) = К + 2аВн. (18.7)
Но
ехр (— Ыа/4) = e~in exp (— ix'a/4), т. е. фаза меняет знак
ш(%) = — со(х'). (18.8)
Итак, рассматривая продолжение вектора Ai == (х, 0, 0) в последовательности (18.5), мы приходим к важному заключению, что после прохождения точки знак ш изменяется и пары представлений меняются местами. Подчеркнем значение этого результата. Векторы (функции) ф<А1>(/) базиса представления (например, Ail) фиксированы, но‘ф(Д')(|), рассматриваемые как функции Ai при продолжении k за пределы первой зоны и являющиеся при Ai < Х\ базисом представления Ai 1, при Aj < Х\ становятся базисом представления Ai 2'. Физическая информация, содержащаяся в функциях при этом не изменяется,
но меняется название представления. Таким образом, при изменении волнового вектора в последовательности (18.5) представления меняются следующим образом:
Г15----->А11->.Х11—>(— А,) 2' -» Г25 +
+ —>¦ (А]) 2'—>.Х11—>А,1—>Г15 —. (18.9)
Точно так же можно получить цикл для второй пары представлений:
Г25-----> Aj2->- (— А!) 1'-> Г15 +
+ ^А,Г^Х12->А12 —Г25—. (18.10)
Но, поскольку двукратно вырожденное представление Ai 5 не содержит фазового множителя, для него циклы имеют вид
Г15-----> А,5 -»¦ ЛГ]3 -»¦ (— А,) 5-> Г15 (18.11)
Г25+ -> А}5 -> Хх4 -> (- АО 5 -> Г2б+. (18.12)
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
145
Как можно было предвидеть, точно такой же результат получается при явном исследовании преобразования базисных функций
под влиянием оператора, который действует по-разному на эти функции, например Р{ру\г{).
Один из способов интерпретации этих результатов заключается в том, что, строго говоря, ограничение волновых векторов первой зоной Бриллюэна служит для разделения неприводимых представлений группы ? (см. т. 1, § 23) так, чтобы два эквивалентных волновых вектора, связанных (18.1), не считались бы дважды. Но, с другой стороны, представление должно быть непрерывной функцией k. Условие непрерывности может привести к «двойной периодичности» некоторых представлений в несимморфных структурах, например в алмазе Он-
Рассмотрим теперь следствия этого результата прежде всего для динамики решетки в классическом описании. В обозначениях т. 1, § 79, имеем [см. (т. 1, 79.7)]
Следует напомнить, что зависимость динамической матрицы [D(k)\ от k входит через проекционный оператор [см.
(т. 1. 81.20) и (т. 1, 81.21)]. Из (т. 1, 81.21) немедленно следует
Соответственно наборы собственных векторов динамических матриц [?(&)] и [D(k 2пВн)] должны быть одинаковыми (за исключением, возможно, знака или в общем случае фазового множителя с равным единице модулем). Следовательно, набор
[D(k)] = [D(k+2nB„)].
(18.14)
(18.15)
можно считать тождественным набору
k -(- 2jtBtf k -(- 2JiBf]
(18.16)
(18.18)
(18.17)
146
Глава 2
Однако тождественность между наборами (18.15) и (18.16), а также (18.17) и (18.18) следует понимать в более общем смысле:
с°2 (k I /') = to2 (ft + 2пВн | /'), (18.19)
где j' не обязательно совпадает с /. Каждый случай должен рассматриваться отдельно. Ситуация здесь напоминает ту, с которой мы столкнулись в т. 1, § 94, при изучении влияния операции обращения времени на собственные векторы. Из (18.19) и (18.9) имеем, в частности, для решетки алмаза
(й2(А,| 1) = со2(А, + 2:п;Вя|2'), (18.20)
ш2 (А, | 2) = со2 (А, + 2яВя | 1'). (18.21)
Важность соотношений (18.20) и (18.21) можно уяснить при рассмотрении правил отбора для процессов с участием фонона с энергией со (к /), например для рассеяния электронов. Практически важный недавно изученный пример — правила отбора для рассеяния электрона между различными эквивалентными минимумами зоны проводимости в Si [79]. Этот g-процесс определяется коэффициентом приведения (в формализме подгруппы)
([Ail]2| 2А,/), (18.22)
где Ai — волновой вектор, соответствующий минимуму зоны проводимости в кремнии:
А, = 0,83 (2п/а, 0, 0). (18.23)
Обращаясь к табл. БЗ, находим
