Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
xW) (Р* 10} Kz 10} К, |0})*=<¦> (к; 10})*=
(17.6)
Следовательно, несмотря на наличие комплексных чисел в таблице характеров для этих двух представлений, как так и вещественны, т. е. обращение времени не приводит
ц дополнительному вырождению. Заметим, что, хотя свойство (17.6) доказано только для Dте же аргументы в случае алмаза применимы и к DiW,)i2), так как для (17.6) существенно только правило определения сопряженных элементов.
В случае решетки каменной соли, как видно из табл. 8, все характеры для точки Xi вещественны. Поскольку этот вектор
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
141
принадлежит к классу I, мы можем немедленно заключить, что все представления действительны. Следовательно, дополнительное вырождение отсутствует. Для точки Wi все представления имеют действительные характеры, которые легко получить из таблицы характеров точечной группы D2d. Последние приводятся в табл. 19. Легко видеть, что, как и в предыдущем случае, преобразование сопряжения с помощью элемента приводит просто к перестановке элементов в каждом классе. Соответственно критерий (17.3) свидетельствует об отсутствии дополнительного вырождения.
Таблица 19
Характеры представлений для точки = (2, я, 0, — я) (1/а) решетки
каменной соли
Элемент {ч> | 0} nf> w(2't w}1') цЛ2) цНЭ)
? 1 1 1 1 2
^22 1 1 1 1 -2
ff4z- °4z 1 1 — 1 —1 0
*2ху’ ®2ху 1 — 1 1 — 1 0
Р*. Ру 1 -1 _1 1 0
Рху°4гРху a4z’ РхуРх^ху Ру
Продолжая таким же образом, можно показать, что в общем случае операция инверсии времени не приводит к дополнительному вырождению как в решетке алмаза, так и в решетке каменной соли ').
Влияние антиунитарной симметрии по отношению к инверсии времени на матричные элементы в настоящее время мало изучено [74—77]2).
§ 18. Связность и классификация неприводимых представлений для структур алмаза и каменной соли: следствия правил отбора
Вследствие наличия нетривиальной трансляции в элементах смежных классов группы симметрии алмаза характеры неприво-
‘) В отличие от колебаний решетки правила отбора для электронных переходов между разными экстремумами сильно изменяются при учете симметрии обращения времени, целый ряд переходов между эллипсоидами оказывается запрещенным. Этот вопрос обсуждается в книге Бира и Пикуса [1831. — Прим. ред.
*) Эти вопросы рассматриваются также в книге [183].—Прим, ред.
142
Глава 2
димых представлений содержат соответствующие фазовые множители. Иными словами, фактор-множество для р-неэквивалент-ных неприводимых проективных представлений соответствующих точечных групп является нетривиальным (т. е. не равным тождественно единице).
Наличие фазовых множителей имеет весьма важное следствие, получаемое непосредственно из анализа таблиц характеров для допустимых неприводимых представлений. Мы можем здесь использовать либо формализм подгрупп, изучая характеры малых групп, либо формализм полной группы, используя ее неприводимые представления. Проблема, которую мы здесь обсудим, заключается в связности т) и классификации неприводимых представлений пространственной группы при изменении волнового вектора k от некоторой точки внутри первой зоны Бриллюэна до ее границы и при его дальнейшем продолжении. Напомним, что из самого определения волнового вектора и первой зоны Бриллюэна (данного в т. 1, § 23) следует, что два волновых вектора k и k', связанные соотношением (т. 1, 23.6)
k' = k + 2nBH, (18.1)
эквивалентны; в частности [см. (т. 1, 23.6) и (т. 1. 23.9)], они определяют два тождественных неприводимых представления группы X. Отсюда следует, что каждый волновой вектор, продолженный за первую зону Бриллюэна, может быть с помощью (18.1) отображен обратно в первую зону. В некоторых простых случаях отображенный волновой вектор попадает просто на диаметрально противоположную грань зоны. Этот случай мы проиллюстрируем ниже на примере продолжения волнового вектора за точку Xt — (2л, 0, 0) (1/й) для алмаза. В других случаях отображение (18.1) переводит вектор на другую (не диаметрально противоположную) грань. В любом случае связность волновых векторов просто получить из (18.1).
Более интересную и важную проблему представляет собой связность неприводимых представлений и ее значение для правил отбора. Мы проиллюстрируем эти вопросы для двух типов представлений, базирующихся соответственно на *А и *2. В табл. 186 мы даем характеры допустимых неприводимых представлений %(Л‘и/)малой группы ®(Ai)/?(Ai) в решетке алмаза, а в табл. 18в — характеры х^*л'(/) полной группы. Необходимо обратить внимание на две пары представлений:
D(*a)u> и (18.2)
?)(*Л)<2) и ?)(*Д)<Г>. (18i3)
*) Херринг [78] рассмотрел эти вопросы для несимморфных групп алмаза 0\ и гексагональной плотноупакованной структуры D\h.
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
143
Таблица 186
Допустимые неприводимые представления группы
для структуры алмаза; точка Д, = (и, 0, 0) ’)
Х(Л,) (Я Смежный класс
(МО) {‘2*1 °} {&4*1М {pylTl} (V!0)
д,ь 1 1 СО со 1
Д,2 1 1 — (й (й -1
Д,2' I 1 — СО — (0 1
Ail' 1 1 СО — со -1
Ai5 2 -2 0 0 0
