Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
разложить на смежные классы по группе следующим
образом:
Z = ?(**) <»> 0 {е 11,} <т) ® {е 112) <т> 0
ф{е|*3} $(**)("». (14.9)
Группа звезды *L состоит из всех RL, таких, что
Ly • RL — 2ns, (14.10)
L2-Jtl = 2nf, (14.11)
L3-RL = 2mi, (14.12)
L4-Rl — 2nv, (14.13)
где s, t, u, v — целые числа; для RL в форме (14.5) имеем
/, + /2+/3 = 2s, (14.14)
-4 = 2/, (14.15)
— l2 — 2и, (14.16)
— l\ = 2v. (14.17)
Тогда разложение X на смежные классы по есть
? = ?(*i) (Ш) 0 (е 11J Л(*?) (т) 0 (е | t2) 5\(*L) (т) ф (е | $(*l) (т) ф
© {е IQ} <т> 0 {е Ui + <?} ?(*i} (я,) ®
Ф {е I #2 + Q} &(*L) (m) © {е 1*3 + Q} ${*L) <т)> (14.18)
где
<? = *1 + *2+*я. (14.19)
Ясно, что $(*?)<OT) — общая трансляционная нормальная подгруппа групп ?)(Г) <m), ?)(**¦) <m), такая, что элементы
образуют минимальное множество элементов, входящих одновременно в группы К(Г)(т), $(*-*) <т) и Обозначим
?№ = $(*?)(/*). (14.20)
Определим теперь группу приведения 81 для произведений представлений ?)(Г)<ш), D( ?)(*?)(m) следующим образом.
Возьмем разложение группы © на смежные классы по
© = {<РР I ь) SK« © {фр I Тр + *,} Я<*> ® {<Рр | Тр + Q} Л(« 0
©{‘Ppl'Tp + ^ + Q}^», р= 1, 48; 7=1, 2, 3. (14.21)
5 Зак. 987
130
Глава 2
Множество 8 X 48 = 384 представителей смежных классов в (14.21) определяет группу приведения SR для этих произведений. Заметим, что произведение двух таких представителей смежных классов есть также представитель смежного класса с точностью до элемента группы Однако в [)(Г)Ш [)(*x)(m)t
?){*L)(m) каждый элемент из представляется единичной
матрицей. Матрицы, дающие представление этих 384 представителей смежных классов, образуют замкнутое множество, т. е. матричную группу приведения. Неприводимые представления ?>(г;(m)j ?)(*x)(m)' ?)(*?) (m)j очевидно, также являются представлениями группы SR. Поскольку SR— подгруппа априори эти представления не обязательно должны быть неприводимыми на группе 9J. Мы увидим, что в данном случае эти представления в действительности все же являются неприводимыми на группе SR.
Перейдем теперь к построению необходимых таблиц характеров с использованием общей теории. Начнем снова с *L. Канонический вектор здесь L\, а остальные выбираются так лее, как в (9.3) и (9.4). Ясно, что те же повороты (9.5) оставляют точку L\ инвариантной (с точностью до 2лВ/). Однако в этом случае последние шесть представителей смежных классов в (9.5) содержат нетривиальную трансляцию ть Следовательно, представителями смежных классов, содержащихся в @/S и имеющих поворотные элементы, не затрагивающие вектор Lь будут
@(№ = {е|0}, {WI0}, {&з~Л,|0}, {Ь^дЫ, {62yj|ti};
{* I Т,}> {<W I Tl}> {°?уг I Tl}> К* I 0}. Кг | 0}, К, | 0}. (14.22)
Отметим любопытное свойство множества представителей смежных классов (14.22), а именно его замкнутость по отношению к умножению. Несмотря на наличие нетривиальной трансляции в (14.22), это множество образует группу, поскольку любой поворот либо оставляет п неизменным, либо только меняет знак ti на обратный. Поэтому мы можем, очевидно, используя те же соображения, что и в (14.20) и (14.21), рассматривать не полную малую группу ®(L\)/X(Li), а только точечную группу Did точно так же, как и в предыдущем случае. Напомним, что в табл. 5 мы привели характеры для допустимых неприводимых представлений группы @(Li)/S в Он- Эту таблицу можно использовать и для Он, изменив обозначения для шести представителей смежных классов, указанных в (14.22), т. е. включив в них нетривиальную трансляцию ть После этого изменения мы имеем нужную таблицу характеров. Используя (9.17}, легко получить полную таблицу характеров представле-
Теория пространственных групп алмаза и каменной соли
131
ний D^ L^(m) для 0\. Сама таблица будет приведена ниже1) в форме, позволяющей использовать ее вместе cD**^w.
Рассмотрим теперь *Х, выбирая Ли в качестве канонического волнового вектора. Поворотные элементы, оставляющие Х\ инвариантным, перечислены в (9.21). Здесь имеются существенные различия между 0| и 0\, обусловленные наличием нетривиальной трансляции Т]. Пожалуй, наиболее удобно продолжить изложение, сопоставляя структуру группы @(Xi)/!?(Xi) для 0\ и Он и используя для этого абстрактный метод образующих элементов и соотношений [70]. Напомним, что группа
©(Ali)/!?(Ali) для Он изоморфна группе D4/, = ?>4(g) Ci. Вводя обозначения
Ь4Х, В = Ь2у, С = 1, (14.23)
мы выбираем А, В, С в качестве образующих элементов группы Dih, удовлетворяющих соотношениям
Л4 = В2 = С2 = ?, АС = СА, ВС = СВ, АВ = ВА3. (14.24)
Очевидно, (14.23) и (14.24) определяют группу порядка 16, содержащую 10 классов и 10 неприводимых представлений, как показано в табл. 8. Однако для алмаза элементы 64* и i содержатся среди представителей смежных классов только вместе с нетривиальной трансляцией ti; следовательно, представители смежных классов @/? с поворотной частью, не затрагивающей Хи образуют следующий набор:
© (*,)/! = {* 10}, {62xj0}, {62a|0}, {62/|0}, (а4х |0}, {а-11 0},
{Рй*|°}> (г|т>}> KITi}’ {р-1 Ti>* (14‘25^
{^4x|^l}> {&4x I Tj}, (621/2 I Т[},
