Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ны быть эквивалентны. Таким образом,
Мы можем получить (84.8) прямо из (82.21), и мы воспользуемся этим ниже.
Согласно теореме Машке, доказанной в § 15, представление ?)(»)(*) или /)(*)(/) либо неприводимы, либо приводимы. Подчеркнем еще раз, что — Это представление, по которому преоб-
разуется полное множество всех вещественных собственных векторов для всех 3г ветвей. Аналогично D(ft) (е) есть (Зг)-мерное представление, по которому преобразуется множество всех Зг собственных векторов. Однако в этом последнем случае основное правило преобразования основано просто на свойствах векторного поля смещений. А с физическим собственным значением a>2(k\j)
дующем параграфе, в котором мы найдем матрицу [?/].
(84.3)
(84.4)
(84.5)
(84.6)
(84.7)
Для следов этих матриц имеем
SpD<*> </> = Sp ?><*> <е>.
(84.8)
связан именно вектор
возвратимся к этому в еле-
224
Глава $
§ 85. Существенное вырождение как следствие &(k) и собственные векторы матрицы [/)(&)]
В этом параграфе мы суммируем полученные в предыдущих параграфах результаты и установим соотношения между собственными векторами динамической матрицы и существен-
ным вырождением, обусловленным группой симметрии
Динамические уравнения (79.7) можно записать в виде
[Dme{\u)=za2{kli)e{\tjv)' <85Л)
Преобразуем теперь эти уравнения с помощью оператора преобразования } из © (&):
р{\ Ы[D <S)I I %)р{\ I %)е (| / J ”
— (85.2)
Согласно (81.33), эту формулу можно переписать в виде
№ (41 (| * ) - <** № IЛ !¦„}*( | (J' <85-3>
Возьмем матричный элемент (85.3)
=<»’(*<85-4> и, подставляя (82.17), получаем
ри' ух" Р ^
=Е°,В|Й()“2<Ji«- <85-5>
ёй' й
Из (79.4) и (85.1) имеем
k \ / k \ /|?
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 225
Подставляя затем (85.6) в (85.5), получаем
k \ ( \к
ри' ух" р •*
=ZzD,eI'-л.*.°(*-*»I^(«it)- <85-7)
Ри' уу." Y
Чтобы продвинуться дальше, нам нужно воспользоваться свойством эрмитовости динамической матрицы: [D(k)] =
= [?>(?)]+ или в компонентах
*,) = я( * ) • (85.8)
V VM /ар \ЯХ /р а
Тогда для (85.7) имеем
к
? ? D»M« ({,„1 w D ( K, J )-
Px' ¦уи"
Z Z D ( 1 D,“ M (KI H t) (85-9)
или
Z (" W •DW w (К I "Л),*, „ ‘v (“" 11) “ = Z(0'*,M(Kl4}))-|><*V.«.‘,t(*i< )' <8ВЛ0>
ук" **
Приравнивая коэффициенты при одинаковых компонентах
-ою в обеих частях уравнения (85.10), видим, что (85.10) является следствием матричного уравнения
D<*> <*> ({«р^ | тг J) • D (k) = D (к) D& М ({ф^ (т, J). (85.11)
Таким образом, мы показали, что динамическая матрица коммутирует с каждой из матриц представления /)(*> (в) группы ®(к). Форма матрицы D(к) задана соотношением (78.5). Эта величина не является скаляром, точнее, не является единичной матрицей, умноженной на скаляр. Так как не сводящаяся к константе матрица pm коммутирует со всеми матрицами представления D(k) (<?) группы @(й), из леммы Шура следует, что DW(<?) приводимо. Чтобы представить D^k) {е) в виде прямой суммы неприводимых представлений, мы в первую очередь должны привести [D(k)] к диагональному виду.
226
Глава 8
Поскольку [A(ft)J вещественно, из (79.14) — (79.17) следует, что унитарная матрица из собственных векторов [E(k)\ преобразует [D(k)] к диагональному виду:
[?(*)]"' [!>(*)] №(*)] = [*(*)].
(85.12)
Фиксируем аргумент (оператор) матрицы Dи преобразуем
(85.11) с помощью [?(?)]; тогда получим
[Я (Л)]-1 [/><*> <•>] [Е (*)] А (*) = А (*) [Б (k)]“¦ [?><*> W] [? (*)]. Преобразованную матрицу обозначим
[Е (ft)]-1 ?><*> W [Я (Л)]:
(85.13)
?)<*) (е)
Таким образом, из (85.13) имеем
[? (ft)]* ?><*><*> [?(*)]. (85.14)
?<*) (*)Д (ft) = Д (ft) ?><*) (*).
(85.15)
Перепишем А (Л) из (79.17), собирая вместе вырожденные собственные значения:
A (к)
!(Л|1)П, 0 ...
О ©2 (ft 12) П2
О
О
(85.16)
a- (k [ /) П,
О ... ю2 (k | п) П in
Здесь П/ — //-мерная единичная матрица. Теперь из (85.14) и
(85.16) можно заключить, что, так как каждая матрица DW{e) коммутирует с одним и тем же блоком диагональной матрицы
(85.16), любая для каждого значения {ф/я|т/я} приво-
дится к блочному виду в соответствии с (85.16) :
( ?>(*) (1) о 0 . . .
О <2>
?)(*) (®) = !
О
?)(*) (/)
I
?)(*) М
(85.17)
Каждый из блоков в (85.17) является отличной от нуля матрицей: D^h) (1) с размерами (/i X h)> ¦ • • ¦ D(k) (я) с размерами (/„ X U)>
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 227
причем каждая из них сопоставляется своему собственному
значению <в2(Л|1), со2(Л|/г).
Записав (85.14) в компонентах, мы можем установить связь с (83.8). Напомним, что строки матрицы [?(&)], как указано в
(79.14), нумеруются индексами ах—1,...,3г, а столбцы — индексом /v= 1, 3г. Соответственно [?(&)]* имеет обрат-
ную нумерацию строк и столбцов. Взяв матричный элемент D[k) (е) с индексами получим для (85.14)
даю м, , = ? ? „• ( к I ‘ ) tDm М) е ( 1 * ). (85.18)
<* v fb,' ™ 4 1 'v ' V I /ц /
Сравнивая (85.18), (85.17) и (83.8), мы можем написать
(?><*)И). , = (?><*)(/>) 6jj,. (85.19)
|Л V
Следовательно, преобразование [17], представляющее D(A) (е) в виде прямой суммы, равно Е (k) = [С/].
