Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Полный набор собственных векторов, определяющих линейное векторное пространство и являющихся базисом для можно взять в виде
.....*(!/,,).......e(!t;)}- <9ол>
Согласно (86.28), (86.29), совокупность (s-lj) комплексных нормальных координат
.....<90-2)
245:
Глава 9
также ^ожно взять в качестве базиса непереводимого представления ?)(**)</>, так как для (90.1) и (90.2) имеем
Р{Ф | </> = 2(**) (/) ({ф | *})• (90-3)
Теперь рассмотрим линейное векторное пространство
(/) = s(**) (Л* = { е* ( | * ) , ..., е* ( | *!' ) J. (90.4)
Из (88.37) имеем
/(?(**)(» = ?(*-*)№). (90.5)
Записывая это выражение через нормальные координаты, мы получаем
/C2(**)</> = |q^*) , J = (90.6)
Используя пространство (90.6) в качестве базиса для представлений, получим
Р{ч | t]KZ{*k) (/> = Р{ч | ((i) = <«?(*-*) ® ({ф | #}). (90.7)
Из (90.7) мы видим, что пространство /(!;(**)</> является базисом представления ?)(*-*)№> группы ®, где связь jl с j еще не установлена.
Применим теперь оператор К к обеим сторонам (90.3) и воспользуемся (88.7); тогда получим
КР{, I <>2(*ft) и) = Р{Ф I (/) = </>?(**) ) ({ф I #})*. (90.8)
Отсюда
?)(**)(/)* = ?>(*-*)№). (90.9)
Получается, что полный набор собственных векторов (90.1) или комплексных нормальных координат (90.2), являющихся базисом неприводимого представления ?)(**) (/) группы может служить также базисом неприводимого представления ?)(**)</)* группы ®, если этот базис преобразовать с помощью оператора обращения времени К. Отсюда сразу следует, что если ?)(**)(/) является неприводимым представлением группы ©, то ?)(**)(/>* тоже является таковым.
§ 91. Существенное вырождение как следствие полной пространственно-временнбй группы симметрии кристалла ^
Полной группой симметрии в задаче динамики кристаллической решетки является группа & — полная пространственно-временная группа (88.8). Под существенным вырождением мы бу-
Симметрия и классическая динамит решетки
243
дем понимать вырождение, связанное с существованием набора векторов, образующих неприводимое по отношению к ^ линейное векторное пространство. Все эти векторы могут быть либо собственными векторами типа (90.1), (90.4), либо комплексными нормальными координатами (90.2), (90.6).
Так как оператор К является оператором симметрии, то набор собственных значений матрицы [.?>(&)]
{со2 | , (О2 (k I /,.), ..., со2 (А | /;), . .., СО2 (k I /у} (91.1)
тождественно равен совокупности собственных значений матрицы !/>(*)]* = [/>(-*)]
{со2 (— k I СО2 (- k I у, ..., со2 (- k I со2 (- k I /*,)}.
(91.2)
Напомним в связи с этим соотношение (88.35). Отсюда следует, что пространство, образованное совокупностью всех собственных векторов или нормальных координат при заданном k:
...<ю........Of
...5С‘,).....Of
вырождено с пространством, образованным соответствующими наборами при заданном —k, т. е.
2(-*) ((h)) = ?(*) (О'})* = (U1), (91.4)
В',,шг-И1л)............
или (91.5)
в*шг=ИЮ.............'(| *,,)}•
*"«»•-{«•(,*). ....«-(У}.
Предположение о существенном вырождении требует, чтобы «физическое неприводимое представление» группы !?, возникающее в задаче динамики решетки, было вещественным представлением. Тогда, если пространство 2^*^ (/! вещественно:
?(**)№==/(?(**> </>. (91.6)
то оно может служить базисом для физического неприводимого представления в задаче динамики кристалла, обладающего
244
Глава 9
пространственной группой ®. Если не является вещест-
венным, тогда существующие нефизические неприводимые вещественные представления имеют своим базисом прямую сумму обоих пространств
s(*‘)(/)0/CS(*‘) (/>. (91.7)
Таким образом, возможны только такие физические неприводимые представления, базисом которых является вещественное пространство Е. Напомним, что основанием для этого требования является вещественность поля физических смещений
и, описывающих отклонение атомов кристалла от положений равновесия. Рассматриваемое физическое поле должно быть вещественным, т. е.
Ки = и =и. (91.8)
Чтобы и оставалось вещественным всегда, должны существовать условия, налагаемые на представления, по которым преобразуются собственные векторы и комплексные нормальные координаты. Убедимся в этом на примере (86.1):
к“”С)-“«(»)"
(9Ь9)
/ V к
Соотношения (88.37) и (88.39) позволяют записать (91.9) следующим образом:
(91.10)
Выполняя в (91.10) суммирование по /, v, —k и сравнивая результат с (86.1), видим, что (91.8) верно. Необходимая для доказательства замена индексов суммирования допустима, так как эти индексы немые.
Далее мы полагаем, что любое нормальное колебание, возникающее в динамике решетки, будет преобразовываться как базис для вещественного неприводимого представления полной пространственно-временной группы 3. Очевидно, если
?(**)<Ле* ?(**)</>*, (91.11)
то неприводимое представление группы <$ вещественно и, таким образом, приемлемо в качестве «физического» неприводимого представления группы 3. Если
?(**)(/> щё ?)(**) (91.12)
Симметрия и классическая динамика решетки
245
то «физическое» неприводимое представление группы 3 является прямой суммой
