Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Как и в предыдущих случаях (72.23) —(72.26), из собственных векторов можно построить матрицу E(k). В этом случае это матрица с размерами (3г X 3г) в отличие от матрицы Е из
(72.23), которая имеет размеры (3N> X 3Nr). Тогда
E(k)
‘Mi) ••• e‘MD
(79.14)
Из (79.8) и (79.9) следует, что матрица E{k) унитарна:
Е (ft)-1 = Е (ft)+ = E(k)*. (79.15)
Тогда из (79.7) и (79.15) получаем
? (ft)-1 (&)]Е (ft) = A (ft), (79,16)
208
Глава 8
где A(k)— диагональная матрица с вещественными собственными значениями, зависящими от k:
В (79.17) каждое собственное значение встречается столько раз, какова степень его вырождения. При наличии случайного вырождения некоторое собственное значение может появиться целое кратное число раз с/ его степени вырождения 1т.
Сопоставляя (79.4) и (72.8), видим, что с помощью преобразования Фурье мы свели задачу к секулярным уравнениям с размерами (3Nr X 3Nr) к N различным секулярным уравнениям с размерами (3r X 3г) каждое. Каждое из этих уравнений
(79.4) записано при фиксированном значении квазиволнового вектора k, принимающего различные значения в зоне Бриллюэна. Таким образом, мы построили из матрицы [/)] (72.8) N эрмитовых матриц [?(&)] с размерами (ЗгХЗг).
Очевидно, (79.18) можно переписать с помощью оператора проектирования, действующего на смещения. Определяя
где Р — идемпотентный оператор проектирования (25.4), дающий блоховские функции с волновым вектором k. Отметим, что при выписывании индексов вырождения j в обеих частях соотношения (79.18) нужно соблюдать некоторую осторожности.
(79.17)
Комплексные собственные векторы с вещественными [е/] из (72.8) соотношением
связаны
(79.18)
Соотношение, обратное (79.18), имеет вид
(79.19)
(79.20)
мы можем переписать (79.18) в виде
(79.21)
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 209
§ 80. Комплексные нормальные координаты
Введем теперь совокупность комплексных нормальных координат Q^ записав амплитуды wa(y,\k) из (78.1) в виде
йУа(и|*) = ?]еа(и |j. )q(* )¦ (80.1)
Используя (79.8), мы можем найти обратное соотношение
3(/ ) = Ее“(>С|/ )®а («!*)• (80.2)
ха
Подставляя (80,1) в (78.9) и используя (79.4), мы получим для потенциальной энергии в гармоническом приближении
v-j?I>2(*I/)q(- ) q(‘). (80.3)
ft I
Производная по времени от (80.1) равна
гМи|й) = ?еа(и| . )q( . ). (80.4)
/=i 4
Подставляя (80.4) в (78.10), найдем для кинетической энергии
r=4?Z«(‘K;)' (80'5)
Повторяя процедуру (78.9) — (78.14), можно получить следующий гамильтониан:
=4?l{«(‘) (80-6>
и вытекающие из него уравнения движения для комплексных нормальных координат
q( * ) н- “2 (* 1 /)Q (/ ) = 0> (80’7)
210
Глава 8
оправдывающие название „нормальные координаты" для ^ Решение уравнения (80.7) имеет вид
q( j ) = Qo(j ) exp [± t© (k! /) f], (80.8)
где Q0^ . ^ не зависит от времени.
(k\
Отметим снова, что из-за комплексного вида<3^ J энергия
(80.6) не представляется в виде суммы квадратов. В (80.3), (80.5) и (80.6) суммирование идет по всем векторам k в зоне Бриллюэна и по всем / для каждого k.
Физические смещения тогда можно записать в форме
Соотношение, обратное (80.9), имеет вид
4^“vF??e''‘MKID““(l)v;c- (80Л0)
L у, а
Из соотношений (80.9) и (80.10) можно видеть, что комплексные
/k\
нормальные координаты . J являются декартовыми компонентами смещений, умноженными на и спроектирован-
ными на вектор е~>>1'Кьеа[к j .^. Этот вектор является произведением собственного вектора на плоскую волну. Таким образом, общий характер рассмотрения в этих параграфах находится в соответствии с рассмотрением нормальных координат в § 73.
§ 81. Кристаллическая симметрия, динамическая матрица [Х>(fe)] и ее собственные векторы
Покажем сначала, что Ъг собственных векторов
Прострачственные группы и классическая теория колебаний решетки 211
являются блоховскими векторами, соответствующими волновому вектору k. Из (79.18) получаем
==pwe“(!|/)- (81л)
Сравнивая стоящие под знаком суммы выражения в (81.1) и
(25.4) и идентифицируя, согласно (23.2), величину e~lk'Rl с ?>(*!({е | — Rl})*, мы можем отождествить Pik) из (81.1) с соответствующим оператором из (25.4). Перепишем (81.1) в векторных обозначениях
е(Р = р(^(0|.)( (81.2)
f°l ^ Г°1Л
где /у- вектор, аи-компонента которого равна еаук\1 )•
Этот вектор является амплитудой смещения атома, находящегося в ячейке/ = 0 и /-м колебании. Действие оператора на смещение следует понимать в обычном смысле:
Р{е\-KL}ea ( к | i) = еа ( к | / ) . (81.3)
Таким способом смещение атома в нулевой ячейке (I = 0) можно разложить на компоненты, являющиеся различными блоховскими векторами. Тогда, используя свойства оператора Р^, получим аналогично (25.6)
Р{, | rl,}Pw = ?><*> ({е | J?r}) Р(к\ (81-4)
так что
р{‘ I Ч')е« ( и | / ) = °{к) 1 ва ( * \ / ) • ^81,5)
й\й
tлава 8
Для проверки убедимся, что прямое применение оператора (79.18) дает тот же результат:
Р{г | RL,}ea ( К j у ) = ^ * '*'% I RV) а ( J / ) =
= ?><*> ({в |адеа(х|*). (81.6)
Чтобы получить (81.5), мы заменили сумму по L эквивалентной суммой по L — L', что возможно благодаря граничным условиям Борна — Кармана.
