Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 1 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
нентами вектора [е/р] и имеют физический смысл декартовой
Величина [е/ ] тогда является физическим вектором (тензором
первого ранга) и подчиняется соответствующим правилам преобразования. Таким образом,
Заметим, что (74.6) устанавливает связь между самими собственными векторами — преобразованными и исходными, — тогда как (74.7) дает соотношение между компонентами этих
(74.6)
С другой стороны, величины
являются компо-
а-компоненты смещения атома в узле
на частоте со,.
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 197
векторов. Если взять компоненту уравнения (74.6) и подставить
(74.7), то получим
(«{*>)» ( к | /р) = ? ( Хф | Ip ) =
tj
= ? Д('Ч{ф1%реаП/рЛ (74-8)
р' =-i
Отметим, что в (74.8) входят значения собственных векторов в разных точках поля.
Элементы Dil) ({ф | *})р,р можно получить из (74.6) с помощью соотношений ортогональности (72.19) следующим образом:
? (е<ф))“ ( X | /р ) ( х | V ) = ? е“ ( X | V ) фа^ ( Хф I/р ) S
/иа /иаЗ
= D(/> ({ф | /»р,р (74.9)
или
Я(/,({ф1*})„р = («{,Ир, в/р,). (74.10)
Собственный вектор / ] можно интерпретировать как повернутый или преобразованный собственный вектор [0/р].
Так как совокупность повернутых собственных векторов для фиксированного {ф|*}
[в{ф}/,, ..., в{Ф}/р..eWltj\ (74.11)
является полной, то условия ортогональности и нормировки
(72.19) и (72.20) применимы также и для совокупности (74.11), т. е. можно записать оба типа скалярных произведений:
[‘и/J-[‘и,;,]“Vv. <74Л2>
[в{ф} а/и] • [е{<р} В/'и'] = (74-13)
Напомним определение скалярных произведений двух типов: с одной точкой в (72.17) и (72.19) и с двумя точками в (72.18) и (72.20).
§ 75. Существенное вырождение собственных векторов [e/J
Представление Z)(/) группы © определено формулой (74.6) или эквивалентным образом формулой (74.10). Это физическое представление, соответствующее вырожденному собственному значению со^ матрицы [D]. Оно построено на совокупности соб-
198
Г лава 8
ственных векторов (72.15), которые можно взять в качестве базиса линейного векторного пространства Е(/>. Согласно теореме Машке, D(i) может быть либо приводимым, либо неприводимым
(§ 15).
Далее из физических соображений мы предположим наличие существенного вырождения. Из (70.36) и (72.10) мы видим, что благодаря вещественности собственных векторов
[%]* = [%] (75.1)
пространство
={[«-,]......Ы..........[%]} <75-2>
тождественно пространству
KS(/) = Z(/)*=={[e/J. [e/J} = 2(/). (75.3)
Поэтому вещественным является и представление D(/), заданное в пространстве 2(/):
DU) ^ Du\*' (75 4)
Сделаем следующее утверждение: если D(/) — представление, согласно которому преобразуются линейно-независимые собственные векторы [в/р] при фиксированном значении частоты (o2f, то
DW) является вещественным неприводимым
представлением группы ©. (75.5)
Вещественное неприводимое представление можно также называть «физическим» неприводимым представлением. Тогда утверждение (75.5) является утверждением о наличии существенного вырождения. При случайном вырождении D(/) приводимо, и мы рассмотрим этот случай позже.
Если неприводимое представление D(/) группы ® не вещественно, то оно не соответствует физическому собственному значению. В этом случае физическим неприводимым представлением является
D(/) = D(r)©D(/r. (75.6)
Этот случай также будет специально рассмотрен ниже.
Следует специально отметить, что (75.5) и (75.6) показывают, что совокупность всех вырожденных физических собственных состояний, являющихся вырожденными собственными векторами динамической матрицы, образует базис для вещественного неприводимого представления группы ©. Обратное утверждение, очевидно, не верно. Иначе говоря, не каждое неприводимое представление группы & соответствует физическому собственному состоянию. Одна из причин ошибочности обратного
Пространственные группы и классическая теория колебаний решетки 199
утверждения состоит в том, что не каждое неприводимое представление ?>(**)(т) группы ® вещественно. Эта проблема вещественности ?>(**) более подробно будет обсуждаться в § 92. Вторая причина тоже будет объяснена ниже, когда в § 82 будет показано, что физическими неприводимыми представлениями ?>(ft>(m), отражающими свойства симметрии нормальных колебаний, являются те представления, которые возникают (в специальном, объясненном ниже смысле) из векторного представления, т. е. из представления, по которому преобразуются декартовы компоненты векторов.
Предположение о существенном вырождении позволяет установить связь между чисто математическим анализом в главах 2—7 неприводимых представлений пространственной группы @ и физическим смыслом свойств симметрии собственных векторов и динамической матрицы [*>]¦ Тогда индексы /р, характеризующие собственные векторы в (75.1), можно сопоставить с индексами (*k) (пг) представлений D
ч_> (т) (75.7)
или для каждого базисного вектора
(75-8>
Следовательно, можно установить связь собственных векторов [в/ ] и блоховских векторов
<т = 1, ..., s; Я = 1...../т. (75.9)
Очевидно, [е/р] можно выбрать так, чтобы для правильных
