Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
зависимости от угловой скорости вращения показано на рис. 10. Прогиб вала
определяют по формуле
где е0 - начальный эксцентрицитет; <а - угловая скорость вала; соАр -
критическая угловая скорость.
Гибкими называют валы, рабочее число оборотов которых превосходит
критическое число. Если срединная плоскость диска не меняет свою
ориентацию при вращении вала (рис. 11), то критическая угловая скорость
(Од-р точно равна круговой частоте р свободных поперечных колебаний
системы и для двухопорною вала с диском посередине определяется формулой
Рис. ю
Рис 11
(94)
EJ ml '
(95)
в которой EJ - пчгибная жесткость сечеиия вала; I - его длина; т - масса
диска. Коэффициент k зависит от защемляющих свойств
Критические числа оборотов аилов
подшипников. Если подшипники не препятствуют повороту касательной к оси
вала, то к = 6,93; б случаях, когда подшипники создают полное защемление
концов оси кала, k - 13,85.
Критическую угловую скорость вращения .можно приближенно считать равной
собственной частоте поперечных колебании вала н в тех случаях, когда
плоское гь диска поворачивается при прецессии вала (рнс. 12), но при
условии, чю радиус инерции диска не слишком велик
{-?-<0.2^. Если это условие выполнено, то можно пользоваться
формулой (95), полагая в ней ткр р и принимая выражения собственной
частоты по табл. 10, гл. 4 в зависимости от схемы вала. Если радиус
терции диска велик, то следует пользоваться способом расчет, укачанным на
стр. 326-327.
Критическое состояние нас i упает не только мри главной (основной)
критической угловой скорости (окр, но также и
при угловой скорости <П" (0к;,; послед-
пюю называют критической скоростью второго порядка. Заметное возрастание
Рнс. 12
прогибов вала при критической скорости
второго порядка происходит вследствие двух причин: 1) неодинаковости
пзгибных жесткостей вала в двух глинных плоскостях; 2) действия веса пала
(при горизонталыюм расположении его оси). Нели жесткости вала t, и в двух
главных плоскостях существенно различаются, то критические состояния
имеют место во всем интервале угловых скоростей
д
Гироскопический эффект
В несимметричных схемах, когда срединная плоскость диска меняет сною
ориентацию при вращении вала (см., например, рис. 12), возникает
гироскопический эффект и критическая угловая скорость изменяется.
Это изменение различно в зависимости от того, какой тин прецессии имест
место при вращении вала: прямая прецессия (рис. 13, а) или обратная
прецессия (рис. 13, б). При прямой прецессии изогнутая ось вала вращается
d одну сторону с диском (см. /-IV на рис. 13. о). При обратной прецессии
эти направления противоположны. Основным следует
326 Свободные и вынужденные колебания стержней
считать случай прямой синхронной прецессии, когда угловая скорость
изогнутой оси вала вокруг прямой, проходящей через центры подшипников,
совпадает с угловой скоростью диска; ниже имеется в виду только этот
случай.
Если диск имеет относительно небольшую толщину, то критическую угловую
скорость определяют из уравнения
7 +
1
"м) кр raj, (<VP.U - ь")
(96)
где У* - момент инерции диска относительно одного из его диаметров; т -
масса диска; бр, <рр - прогиб и угол поворота сечения, в котором
расположен диск, под действием силы Р~ 1; 1Ч'р. -те же пере-
мещения, но определяемые от действия изгибающего момента М= 1. z Для
консольного вала (рис. 12)
" . * .
li?J ' Af 2EJ '
12
= 2 EJ'
%м ~ rj (^7)
и из уравнения (96) вновь пол\чаем формулу (95). в которой
+ Г
причем
D -
ml2'
(98)
т
Зависимость параметра k от величины D показана на рис. 14. При D = 0
гироскопический эффект полностью отсутствует; при D = оо диск имеет
бесконечно большую инерцию поворота, его плоскость не поворачивается и
вал изгибается так, как если бы на его правом конце была жесткая заделка,
не препятствующая вертикальным смещениям.
Если диск нельзя считать весьма тонким, то в приведенные выше выражения
вместо момента иперции У* следует подставлять
У* - Ут - У*. П00)
где У! - момент инерции диска относительно центральной оси,
перпендикулярной к срединной плоскости диска; У 2 - момент инерции диска
относительно центральной оси, лежащей в его срединной плоскости.
1 ак, в случае, когда диск представляет собой однородный круглый цилиндр
высотой Ь и диаметром <?,
. _ md2 . md2 mb'*
1------8~: - "ПГ "ПГ
. _ ntd2 mb2
* "1б 24~*
(101)
Критические числа оборотов валов
327
Пример 15. Определить критическую угловую скорость вала. necy.ii.ero на
конце консоли тонкий однородный диск диаметром 0,6с {рис. 15, о). С
помощью схем, показанных на рис 15, о и в. иаходиы единичные перемещении
йр = 0.123 Ьм = ч>р = 0,2
По формуле (101)
г (!!,6е)*
16
Уравнение (96) п Отсюда находим
u'L = М -
Если не учитывать гироскопическое влияние, то по формуле (94) получаем /
Г* 2.83 Г~р1
"*р- \ щ,~ - \
Вал с несколькими дисками
Если гироскопические или и ни я невелики, то у ранне ни я, определяющие
критические скорости вращения, точно совпадают с уравнениями, которые
