Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
q (а) = т (х) X (а), определить изгибающий момент М (а) из
дифференциального уравнения М" - q (а).
После этот найденное выражение подставляю г в формулу Г раммеля, которая
даст более точные результаты, чем формула Рэлея [при том же выборе
функции X (а)1.
Пример 8. Определить собственную частоту колебаний консоли (рис 6) по
формуле Граммеля Полагая
1ч| о соответствует выражению (51) в решении по формуле ГэчелЗ. принимаем
за нагрузку выражение
_Л Ах ¦ х4 \
q - ( 37 "г 31* ! ¦
Двухкратным интегрированием находим ш. и бающий момент
и далее определяем
г I - - 1
I 2 9/ 9lU4 }
Г mX* dx = 0,25б!9я/, j* М*^х =0.02077 ~?j~ -0 О
Теперь по формуле для изгибных колебаний в табл. 13 находим 12.36/;./
" -"Hi- '
т е.
3,51
3,51 1 / EJ l,=-i-V -
Вариантом записи формулы Граммеля является форхула Гогенем-зер-Пратера
(табл. 14).
Вид колебаний Формул 1
Продольные / / Г (Л'')2 tlx Г У* dx J hi J EF 0 0
Крутильные Ь о
Поперечные i i j* . J AIs dx б и
Свободные колебания (приближенные исследования)
311
где Ь (г, г) -функции влияния, т. е, перемещение сечения с абсциссой х
под действием единичной статической силы, приложенной в том же сечении.
При крутильных колебаниях
? - I :
Формула Донкерли
В отличие от ранее приведенных формул, формула Донкерли дает всегда
заниженные значения основной собственной частоты колебаний. Согласно этой
формуле при продольных и изгнбных колебаниях
| т (х) 6 (х, х) dx \- ^ пчЪ (¦*;, xi) I > (54)
о J
сечени: ложенн
J / (х) 0 (х, х) dx -j- 2 /е6 (Xi, x2-)J , (55)
причем 6 (x, x) - угол попорота сечения с абсциссой, определяемой от
статического действия единичного крутящего момента, приложенного в том же
сечении.
Способ последовательных приближений для определения первой собственной
частоты колебаний
Согласно этс:у способу первую собственную частоту изгибных колебаний
определяют в следующем порядке:
а) задаются формой колебаний Х<0> (х), верхний индекс обозначает номер
приближения. Функция Х^ должна удовлетворять условиям закрепления концов
стержня;
б) определяют силы инерции по формуле
у(0) (х) = ai (х) Х<°> (р(°> ]2. (56)
Значение /И ^ принимают произвольно, но чем ближе принятое значение к
неточному, тем быстрее будут завершены указанные далее операции;
в) способами теории сопротивления материалов (чаще всего путем численного
интегрирования или графо-апалитически) находят перемещения вызываемые
нагрузками (56); функция Х^ (х) яв-
ляется улучшенным приближением к истинной форме колебаний;
г) вычисляют первое приближение для квадрата собственной частоты по
формуле
(x)X^dx
1р<1>1"и__? ; (57)
J т (х) lx(1> (х\\2 dx
л) найденную форму колебаний Х(1> (х) принимают за исходную и повторяют
выкладки, указанные в пп. а-г; таким способом получают собственные форму
и частоту во втором приближении.
312
Свободные и вынужденные колебания стержней
Вычисления продолжают до тех пор, пока два последовательных значении
собственной частоты колебаний не окажутся достаточно близкими одно к
другому.
Независимо от исходного предположения о форме Х*°* (х), процесс сходится
к низшей собственной частоте.
Способ последовательных приближений для определения второй собственной
частоты
Для определения второй собствен мой час юты колебаний предварительно
необходг' * найти (с возможно большей точностью) первую собственную форму
.'.L (.*), после это-:
а) задаюге*. подходящей второй собспн-m. hi i_op :ой
б) определяют параметр
I I
а - - | т(х) Х*0,Х, ах: \ пг (х" Х1 дх; [58)
о 6
и) образуют функцию
Х1'" =х|"> +яХ,. (50)
которая оказывавггя ортогональной первой собственной 1]юрме.
Дальнейшие выкладки не отличаются от приведенных выше и в результате
получается функция первого приближения из-за i:eточностей вычислений эта
функция может оказаться не вполне ортогональной к первой собственной
форме Хг (х); поэтому, прежде чем переходить к построению второго
приближения, вновь добиваются орю-гональности, положив подобно выражению
(59)
Xl') = X(l"Tii1A'.. (60)
где аналогично формуле (59)
г I
"j = - | rn (х) XtIJ xt dx : j т (х) Xj dx (61)
S
и т. д. В более общем виде метод последовательных приближений используют
при применении интегральных уравнений [31 (см. также [1 ] в литературе к
гл. 1).
Метод Ритца
Этот метод позволяет приближенно найти одновременно несколько низших
частот (см. [2J в литературе к гл. 4).
Для этого задаются системой функций Хх (х), Х2 (х) Х" (х),
удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, и вычисляют величины
(для случая изгибных колебаний)
Свободные колебания (приближенные исследования)
313
Собственные частоты определяют из уравнении частот
Г\ъръ - У\ъ 2Р2-^1г У'гяР8-Чгп
TnJ?-UM, Г2вр8 -1У23, . . .. 7W* - У"
TniP2 -t/м, Гn<jf? - Unt* - - -, TrmPs
-Нл
(63)
Некоторыми преимуществами обладает другая форма уравнения частот
(64)
Tn-fVa-n, -p!VM, Ttf P~V¦ ¦ Гм-p*V-" . ¦ , 7V, - p2Vul P*Vw
Tn-p*Vn. Tni P~Vn2 , . - ¦ > nil - P'V no.
Vik = f Г б (х, s) m (л) m (s) X, (лг) X* (s) dx ds.
