Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
qR*
FJ (л* - 1) J ^ cos лф - fn sin пф
М - R2
Наиболее опасный случай, когда нагрузка q направлена к центру.
qRs
rot да в формулах (34) следует брать перед ^ (пъ _ \ ^ чнак МИНУС-
Наибольшее влияние на напряженность оказывают первые гармоники.
PR3 л EJ
\ ^ sin п |
jLml п (л* - 1)* ГI
[i ML_|:
[ EJ (л* - 1)J
344
Расчет круговых колец и кольцевых систем
COS п (П - ф)
PR \"^ ____cos я (а - ф)
- 4-i И.-ПГ,-_Ь5
Чо R* 1 ЬЛп* - 1) j
Пример 8. Кольцо под наружным да плен нем q. В этом случае f, (<р)~ О и
все частные решения р* = ш* = О* =- • • = О- Условия стыка
v (2л> = v (0>. w (2л) => w (0); О (2я) = " (О)
приводят к уравнениям
2лAt + At (cos 2дл - 1) + Д" sin 2jwi = 0;
At sin 2дл - Д* (cos 2ця - I) = 0;
2nAt - (pz - 1) \.Aa (cos 2рл - 1) -+- Af sin 2ря1 = 0-Решение этих
уравнений существует если их определитель равен нулю: 2(1- cos 2"ш) == 0;
отсюда
2(1Л - 2лп или |1 = п.
4 R"
называют критическим давлением для кольца.
Влияние начального прогиба
Если стержень или кольцо имеют начальный прогиб v, к> в своей плоскости,
то после деформации смешение точек кольца (от круговой формы) и изменение
кривизны будут
v - v -г vynp; w = nj - Wynp', У- = у. 4- '*-упр-
Исходное уравнение для гибкого кольца с учетом начального прогиба можно
получить из уравнении (30) предыдущего параграфа
d*v dife
lt d*v , dzv R3 d [ / dav dv \ [
* ' dqp EJ dif 1_ ^ \ d<p2 dq> / J
Ru d Г / d3t> dv \1 . .. , .
-l<w ¦- W/Iи',г> 1:1,1
Если кольцо жесткое, четвертое слагаемое в левой части уравнения можно
отбросить. Решение уравнения (35) в замкнутой форме
Гибкие брус и кольцо
345
записывают в виде формул (32) или (33), только частные решения
неоднородного уравнения должны быть соответственно изменены I V ф!
Ф2 Чя
о* " - | sin Ц (9 - <Pi) j sin (q , - Чг) | j .<
О О (10
s/ ft к \ R3 d Г (, dv \1| . .
'' p(tf,) ГТ'ATP id?-+ d<p*
ИЛИ
Ф Ф фа Фа
v* = - J sh Ц! (<p- ф,) | sin (<p, - <p2) | | X
1 0 i> 0 0
X {/l "Р.1 - -§¦ • [" (^r +- -j|-)]} *1. <!•}'* ''"P.
Решение уравнения (35) записывают также в рядах Фурье. Допустим, смещение
w начального прогиба запишем рядом
w = ^ (л(r) cos л<р г b{)n sin Лф) п-1
и кольцо нагружено равномерно распределенной нагрузкой q0, тогда
уравнение (35) в функции w примет вид
g dsui dw q0R3 / dyw dw \ q0Ra / dsw
(1ф 1 (1ф EJ \ Лф3 dtp ) EJ \ ({фИ с!ф/
d&w difs
Его решение
ю = ЧоК' (41 "к mp + fcg Ып яд)
44 EJ
Изгибающий момент
I л(r) cos Лф -j- ft(r) sin лф
-М - -Vo Я
?
1-
EJ (л2 - 1)
Наибольшие напряжения вызывает эллипсность кольца (при л - 2). Если
гибкостью кольца пренебречь, то
М = -Q()R ("(r) cos Лф -j- ft(r), sin лф).
п=2
Подробнее см. работы (|5, 21J.
346
Расчет круговых колец и кольцевых систем
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖЕНЬ И КОЛЬЦО Плоский изгиб
Яри изгибе тонкостенного профиля деформируется контур поперечного
сечения, что приводит к перераспределению напряжений по сечению и
снижению жесткости. Для стержня, составленного из цилиндрических и
плоских стенок, получены точные решения в случае чистого иниба при
рассмотрении стенок как оболочечных элементов и полок как кольцевых
пластин. Подробное изложение метода решения задачи можно найти в работе
[16J.
Расчет тонкостенного кривого стержня на прочность и жесткость выполняют
по обычным формулам для стержня с недеформируемым сечением с заменой
действительного сечения эквивалентным. Эту замену осуществляют умножением
ширины цилиндрической полки на коэффициент ft,; размеры плоских стенок
оставляют без изменения. Момент инерции J и момент сопротивления W
вычисляют для эквивалентного сечения с размерами цилиндрической полки
akt. Местные изгибные напряжения в цилиндрической полке оценивают
коэффициентом ka-
М
ои - скц = kg.
Значения коэффициентов kt и k0 для некоторых профилей приведены в табл.
8.
Нагрузка, перпендикулярная плоскости стержня Основные положении теории
кручения и изгиба тонкостенных стержней подробнее изложены в гл. 12. Ниже
приведены расчетные формулы для кругового стержня.
Дополнительные обозначения (рис. 31):
R - радиус кривизны тонкостенного стержня, проходящий через центр изгиба
сечений;
,Мк (ф) - момент свободного кручения;
М (ф) - момент стесненного кручения;
В (ф) - бимомент; считается положительным, если он увеличивает кривизну
верхней полки и уменьшает кривизну нижней полки,
?/<,, - жесткость стесненного (изгибного) кручения;
GJK - жесткость свободного кручения;
, EJZ ,, I / GJK
2 - к - R I. -jrr-. (iOj
' )
OJk '
Нагрузки приводят к оси стержня. Силы PZi переносят с добавлением
соответствующих крутящих моментов. Если крутящий момент приложен к
отростку, выходящему за пределы сечения вдоль оси стержня, то при
переносе момента К/ в сечение следует добавить бимомент В,- = KiUK. При
переносе распределенной нагрузки следует учитывать распределенные моменты
и бимоменты.
Тонкостенные стержень и кольцо
347
Ь. Значения коэффи циен топ hf и 1(п
1НЯ' А' = j =jT=vT v-коэффициент Пуассона
Расчетные формулы и график!
