Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
второе слагаемое - упругая энергия изменения формы. Если тело испытало
нагрев до температуры Т. го к первым трем соотношениям (9) следует
добавить тепловые расширения аТ, где а - температурный коэффициент
линейного расширения
Первая группа уравнений (11) будет дополнена слагаемыми ^ Т
(см. гл. 5).
Теория упругости
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Так как по закону Гука напряжения можно выразить через деформации (а
следовательно, через перемещения и, и, ш) и, обратно, деформации можно
выразить через напряжения, го в теории упругости одну и ту же задачу
можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая
соответствующую систему дифференциальных уравнений. Этим двум подходам
отвечают и различные вариационные принципы (принцип минимума
потенциальной энергии и принцип Кастильино). Заметим, что можно исходить
из смешанной системы уравнений, но это не всегда удобно.
Уравнения Даме. Внося в дифференциальные уравнения равно веси я |(12) гл.
1 ] компоненты напряжения согласно (11) гл. I н заменяя компоненты
деформации по формулам Коши ((17) гл. 1 ], находим дифференциальные
уравнения динамики упругого тела
составляющие ускорения; р - плотность; Х> Y, Z - составляющие объемной
силы.
В задачах статики упругого тела ускорение равно нулю; при отсутствии
объемных сил уравнения статики имеют вид
Некоторые следствия. Из уравнений (14) вытекает, что объемное расширение
е является гармонической функцией Де = О,
а составляющие перемещения и, ч, w - би га рмои и чески ми функциями
(Х + w Ж +,l д" + х ~ р W = С; (>• + (1) Jj- + к*" + 𠦧? - 0;
(к + jx) 4-Дю Z P'gjz' ~ о.
(13)
(Х +,|) аГ + ,хД" = 0;
(Ъ
+ *1) ^ 40 = 0:
(>. -J- р) + р Да* - 0.
(14)
А Лн = 0; AAo = 0; AA w = 0.
Уравнения теории упругости в напряжениях
27
Но тогда с помощью соотношений (И) легко установить, что среднее давление
- гармоническая функция Да - О,
а компоненты напряжения - бигармонические функции
ДДодг = 0; ДАт** - 0.
Решение Папковича-Нейбера. Решение уравнений Ламе (14) может быть
представлено через гармонические функции Ф," Ф|, Ф2, Ф ;
U - Ф^ -
4(1
V - Фа -
¦ -fa № 4- г/ф2 -г гФэ 1 Фо); я
(хФт -}- уФг 4~ 2ф3 + Ф")>
4(1-v) ду 1 д 4 (1 - v) " дг
(хФх -{- уФ* 4" ¦гФа 4" Фо) ¦
(15)
Через эти функции по формулам (11) можно выразить компоненты напряжения.
Имеются также другие формы общего решения уравнении Ламе (решения
Кельвина, Бусинеска-Галеркина и т. д.).
Уравнения Ламе в цилиндрических координатах
де
<* +(0Tf- - (* (75" +
,, . . де ( v 2 ди \ .
(>- + Та?- -(-рг-тг • щ) +Д:' = 0:
_2_ dv
Г2 ' dlf
ди
^ + р. Аи - С;
(16)
где и, V, w - проекции перемещения на оси г, ц>, г\ оператор Лапласа д*
д-^ . J _L. Л . JL
dr2 "1" /¦ dr + r2 дф* ^ дг* ¦
Уравнения Ламе в ортогональных криволинейных координатах см. работу 18].
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Уравнения Бельтрами-Митчелла. Внося компоненты деформации по закону Гука
(9) в условие сплошности (20) гл. 1, получаем с помощью Дифференциальных
уравнений равновесия уравнения Бельтраыи-Митчелла
До* ц-
1 + v
д2а
Ло* + у
_ дХ у / дХ dY , dZ \ дх 1 - v \ дх ду дг )
у / дХ . дУ dZ \ I
1 - v ^ дх ду ' дг )" J
_Я д% дУ
-J- v ду2 "
(17)
28
Теория упругости
(17)
При отсутствии объемных сил правые части этих уравнений равны нулю;
напомним, что За - аЛ + ау -f- а2. Для получения полной системы уравиений
в напряжениях к уравнениям (17) следует присоединить дифференциальные
уравнения равновесия (12) гл. I. Этой системе уравнений можно
удовлетворить с помощью тензора функций напряжения |7].
Уравнения Бельтрам и-М итчелла в цилиндрических координатах (при
отсутствии объемных сил):
До,
2 4 "Ч
ДОг +
I+V
2 д , , 4 , 3 d / 1 до \ .
7гвф<<Тф --,f + T+v"'•
\т L ¦ 1 п.
т'г г* ' dip I -J- v дг dz '
(18)
Уравнепия Бельтрам и-Митчелла в криволинейных ортогональных координатах
см. в работах \1, 8].
Граничные и начальные условия Принцип Сен-Венана 29
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Первая основная задача. На поверхности тела 5 заданы нагрузки (Хп, Yn,
Zn): тогда на этой поверхности должны выполняться условия
Л л л
ох cos пх + 1Xy cos пу -г ххг cos пг = Хп;
хХу cos пх + о., COS пу + Туг cos пг = Уп;
\ /. Л
ххх cos пх -г хуг cos пу А- ог cos пг = Zn
<19)
В качестве примера приведем задачу о толстостенной трубе под действием
внутреннего давления р. Тогда иа наружной поверхности трубы нагрузки Хп -
Yn - Zn = О, а на внутренней поверхности они сводятся к внутреннему
давлению.
Вторая основная задача. Заданы смешения us, t\, ius точек поверхности
тела; тогда на S должно быть
и = us, v= ''i, w ~ ia5. (20)
В чистом виде эта задача встречается значительно реже.
В качестве примера приведем задачу о сплошном упругом круглом диске,
запрессованном в жесткое очко. Здесь на контуре диска задано радиальное
перемещен неосновная смешанная задача. На части поверхности Sf заданы
нагрузки, а точкам остальной части Stl поверхности тела предписаны
