Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
_ 1 <?Ф I <№> _ дЧ>
°г г дг г2 д(р* ' а<р дг2 *
1 дФ 1_ (РФ
Xr<f г2 dtp г дг д(р *
(JL _1_ 1 д , 1 д2 \/ д*Ф , 1
\ дг* + г "дГ + 72"д^)[-д^+Т
гН-
36
Теория упругости
О граничных условиях. И случае первой основной граничной задачи на
контуре тела заданы поверхностные усилия Хп, Yn (рис. 3); тогда
д'*Ф ду* '
дЧ>
дхду
cos пу = Хп,
д*ф ' (РФ -а , - cos пх -}-т-5- cos пх -дх ду дх-
Yn
Интегрирование этих соотношений вдоль дуги контура приводит к формулам
для значений производных функции напряжений в произвольной точке контура
s = st
= -R".
где st - длина дуги контура, отсчитываемая от некоторой точки, а Rx. Ry -
проекции главного вектора внешней нагрузки, приложенной к участку дуги
(О, s,). Повторное интегрирование позволяет найти значение функции
напряжений на контуре
(ф)1
) ((*1 - *0 Уп - 1й - М л"| А.
(40)
Это значение, следовательно, равно моменту нагрузки, приложенной иа
участке контура (О, s,), относительно конечной точки s, рассматриваемого
участка.
Приняв за оси х, у направления нормали п и касательной s к контуру в
точке s = slt можно переписать формулы (39) в такой форме
(тг).-* (-?-).--"¦¦ (41>
г. е. можно считать известными производные функции напряжений по нормали
и дуге; R", Rs - нормальная и касательная составляющие главного вектора
внешней нагрузки, приложенной к участку (О. s,). Так как из формулы для
(ФД вытекает первое из соотношений (41),
^ дф
то независимыми граничными значениями будут значения Ф и ,
Для одпосвязного контура эти значения однозначны. Для многосвязного
контура эти значения однозначны только в том случае, когда главный вектор
и главный момент по каждому из контуров равны нулю [12J.
Плоская задача
37
О зависимости напряженного состоянии от упругих постоянных. В случае
первой основной задачи (на контуре тела заданы напрнже-ния Х". Уп)
напряженное состояние не зависит от упругих постоянных (т. е- от
материала), если тело занимает конечную одиоснязную область.
" В случае многосвязной области необходимы дополнительные условия: на
каждом контуре главный вектор внешних нагрузок Хс. Y" должен равняться
нулю.
Приведенные результаты (иногда называемые теоремой Лени-Мит-челла) лежат
в основе использования оптического метода исследования
напряжений.
Простейшие решения в полиномах. Если функцию напряжений брать в виде
целого полинома х, у и подбирать его коэффициенты так, чтобы
удовлетворялось бигармоническое уравнение (37) и н той или кной мере
граничные условия, то можно построить много интересных решений дли более
или менее длинных прямоугольных полос. При этом на торцах полосы
удовлетворяются, как правило, "подходящие" граничные условия 115, 19].
Решения для полосы в рядах Фурье. Если нагрузки на гранях полосы у - ±Л
разрывны (или вообще достаточно сложны), решение
У 2Р
Рис 5. График напряжения п есчс-¦Iни у - О
задачи часто можно построить в рядах Фурье. Для этого нагрузки разлагаем
в ряды Фурье и ищем решения бигармонического уравнения (37) в форме
, . ппх
ф = Ф (у) COS -
(если нагрузка четная). Функция ф (у) имеет вид
Ф (у) = Сх cli ay-г Сг sh ay -J- Сяу ch ay -f- СЛу sh ay,
где a = ; n - целое число; Cx C4 - произвольные постоян-
ные. Подробное изложение см. в работах [15, 19].
Рассмотрим два примера, иллюстрирующих "рассасывание" действия
сосредоточенных нагрузок.
Сжатие сосредоточенными силами узкой полосы (рис. 4) I > ft. Напряжение
оу быстро убывает по мере удале-qT сеч^Н|1я х = 0. На рис. 5 показан
график напряжения оу при
Теория упругости
Сжатие сосредоточенными силами высокой полосы (рис. 6) / < h. По мере
удаления от точки приложения сосредоточенной силы распределение
напряжения оу будет все более равномерным. На рис. 7 показаны графики су
н сечениях у = h ,
у - h - /, у - h - 21. Этот пример характеризует условия применимости
принципа Сен-Венана.
Р ,
О
Д.11 т т
s- Ч i м ? * 1r-"-i
f +
s||, iib*
* t y=h-L *
т\ ; Ш
Рис. 6. Сжатие сосредоточенными силами высокой полосы
Рис. 7. Графики напряжения ау в различных сечения:;; цифры указьшают
отношение минимального и максимального напряжения к среднему напряжению
Функция напряжений в полярных координатах. Осеси мме-трнчное напряженное
состояние. В этом случае
Ф = A In г + Вг1 1п г + Сг4 4- D,
где At В, С, D - произвольные постоянные.
Задача Ламе о полой трубе. Применяя приведенное решение к задаче о
равновесии трубы (диаметры 2а. 26), испытывающей действие внутреннего
давления р и внешнего давления q, получим
о г =
(fib2 {д - р) ^ а2р - b~q
(Ь2 - а2) г*
Ь2-и2
a2b2 (q - р) а2р - b2q (6* - о2)л2 + Ь* - а2
Радиальное перемещение
u = T&-jj [-''K~4)-+{1 +2v"a"p-MafJ .
Плоская задача
39
Чистый изгиб кривого бруса (рис. 8). Используя то же решение, получаем
4А1
4М ( , г ". а а2Ь2 , Ь \
- -д-(" In^H " ln-+-^,nir);
, _ 2|п г llnjL_i!!?,n _LV
Ф Л \ Ь г г2 а /
'•'по - О,
Рис. 9. Клин под действием сосредоточенной силы
Л - (Ь2 - а2) _ 4оЧ>2 (1" А )* .
Клип под действием сосредоточенной силы, приложенной в вершине (рис. 9).
