Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
давлению, а
14 Напряжения и деформации в сплошных средах
Da -
Гхг
- тензор, характеризующий нап-
ряжения сдвига в данной точке и называемый дениатором напряжения. Главные
направления девиатора напряжения и тензора напряжения совпадают. Линейный
инвариант дениатора напряжения /х (?)с) равен, очевидно, нулю. С
квадратичным инвариантом /2 (D0) связана интенсивность касательных
напряжений:
\ -pj l ' (°. - °*У+К - "*)! (""- °.)2+б (*;,+^+'")
(8)
В случае чистого сдвига (напряжение сдвига т) ох = г,
о8 = О,
о3 = т; тогда X/ = т. При одноосиом растяжении (сжатии) о8 =
о8 = О,
Т. = 1М
' ,
Иногда рассматривают интенсивность напряжении (или приведенное
напряжение), равную о* = У$г/. Очевидно, что при одноосном растяжении
(сжатии) о,-=|о1|.
Отметим важное неравенство
l=S-S-=s-^=-, 19)
%юх у 3
из которого вытекает приближенное соотношение
г,-" 1,08тт" (10)
с наибольшей погрешностью около 7%.
Компоненты девиатора напряжений будем обозначать через s*/ (i, / = = 1,2,
3); заметим, что
sti = Of/ - об,-/,
где б</ - символ Крокекера (6,-/ = 1 при / = / и Ьц = 0 при i =^= /').
В плоском напряженном состоянии компоненты напряжения
о? = Тдз = Хуг - 0.
Главные напряжения равны
- 5-1 (п. - а")' + 4^";
У
= о* = I).
Напряжения
15
Угол 1, х, образуемый первым главным направлением с осью х, определяют из
соотношения
2тхи
tg 2 (I, х) .
- Пх
Максимальное касательное напряжение ттах "= -г- (о4 - ог). если 1 2 olt
оа - разных знаков; ттах | |. если olt о2 - одинакового
знака
Диаграмма Мора (рис. 4) дает наглядное представление о распределении
нормальных и касательных напряжений в различных сечениях, проходящих
через дан- __ ную точку. Значения оп и тЛ лежат в заштрихованной области.
Форма диаграммы Мора характеризуется коэффициентом Доде и Надаи
Цо =
> па - <*з
Oi - Оэ
- 1,
рамма Мора
изменяющимся в пределах от -1 до +1- При фиксированном р0 и фиксированных
главных осях напряженное состояние определено с точностью до общего
множителя (пропорционального интенсивности о,) и аддитивного среднего
давления о. Коэффициент р0 является характеристикой "вида напряженного
состояния".
Дифференциальные уравнения равновесия. Компоненты напряжения должны
удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия
дтХ1
даи
дтх2
дг
ду
дт,
дУ
у*
дг
дал
(12)
где X, У, Z - компоненты объемной силы. В случае движения в правых частях
уравнения (12) будут инерционные силы, соответственно равные рwx, pw,j,
рwz, где р - плотность тела; wx, и'у, wz - проекции ускорения частицы
тела.
В цилиндрических координатах г, <р, г (рис. 5) уравнения равновесия имеют
вид
дог °г I дтг<р дТгг
' 4-
16 Напряжения и деформации в сплошных средах
В сферических координатах, показанных на рис. 6, уравнения равновесия
имеют нид
дхп i дхг<1
да,
~дГ
- +
+ - (2ог-дхп
~дГ + 1
I' - 1(^9 " Oqj) Clg U
I
dfl 1 г sin 0 Оф
- + тге ctg 0) 4- Хг = О;
dtp
-Х(1
dog I
дд г bin 0
дхп
дг
'~~т
+ -
- -Ч-б] -1
' +
= 0;
дф
+ - Рг,,
г sin О 2т ?Ф ctg fi) J- Xv = О.
(Н)
Уравнения равновесия в про из ноль ной криволинейной ортогональной
системе координат см. в работах [2, 4].
ДЕФОРМАЦИЯ
Тензор деформации. Деформацией называют изменение расстояния между
точками тела. Пусть и, о, w - составляющие смещения, испытываемого
точками тела (рис. 7). Квадрат элемента длины dsa = dxz -t~ dy* + dz*
после деформации будет равен
dsj1 = (I 4- 2ех) dx2 -t- (I 4- 2ey) dy1 4- (1 2cz) dz2
+ 2yxy dx dy + 2yyz dy dz + 2у" dx dz, (15)
Деформация
17
Уху
- н
дх
ди
~~Ж'
ди , dv dv | Лf <?ш I
% dx ду dx dy j *
d" dx '
(16)
Остальные компоненты имеют аналогичную структуру и получаются круговой
перестановкой индексов. Совокупность величин е,., еи, ?*, * 1 1
-J-Y". Y V.". -j-Ym образует
симметричный тензор второго ранга - тензор деформации Те.
Всякая деформация может быть осуществлена простыми растяжениями el7 еа,
е3 (главными удлинениями) в трех взаимно перпендикулярных направлениях
(главных направлениях).
Малая деформация. В случае малой деформации компоненты тензора деформации
е,х,
I
и углы поворота, то в формулах (16) можно отбросить квадратичные
слагаемые [3 ].
Тогда имеют место формулы Коши
ди
дх' '
dv ' _ dw _ _ ди ! dv
ди • S* ~ дг ' ^ху ~ ду ~дх *
dp
^'=аг-
dw
~ду'у
ди
~дг
dw
Ж'
(17)
Здесь ех, Ъу, ег - относительные удлинения соответственно в на правлениях
осей х, у, г, а ухуг yyz, уХ7 -относительные сдвиги (изменения
первоначально прямых углов между направлениями х, у\ у, г; х, г
соответственно).
Относительное изменение объема
(18)
Следует иметь в виду, что даже при малых удлинениях и сдвигах формулы
(17) часто являются недостаточными при анализе деформаций и устойчивости
(ибких тел (стержней, пластинок, оболочек) вследствие того, что элементы
таких тел могут испытывать значительные перемещения и повороты [3].
Главные удлинения являются корнями кубического уравнения
-V + /i (7V) >-2 + /н (ТЕ) К Н- /3 (7g) = 0.
18 Напряжения и деформации в сплошных средах
