Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь напряжения будут 2Р ( sin у sin ф t cos у cos <р \
°г г \ 2а - sin 2а 2а + sin 2а / "
о, = xrt( 0.
Полагая а = - , у = 0, получаем решение задачи о действии на
упругую полуплоскость сосредоточенной силы, перпендикулярной к границе
(задача Фламана):
2 Р
ог - - cos q>.
пг '
Сжатие круглого диска сосредоточенными си л а^м и можно получить,
опираясь на решение задачи Фламана 1191-При действии вдоль диаметра двух
равных сил (рис. 10) в сечении у - 0 напряжение
2 Р
nd
[¦"
4 d*
(d2 4- 4x2)8
]•
40
Теория упругости
Решение плоской задачи с помощью функции комплексного переменного. При
решении плоской задачи теории упругости широко применяют методы теории
функций комплексного переменного [10, 18. 191.
Вигармоническая функция может быть представлена в форме
Ф = Re \г (р (г) + х (^) 1, 142)
где г ~ х+ iy, а г = х - 1у - сопряженное комплексное переменное; Re -
символ вещественной части; <р (г) и / (г) - некоторые аналитические
функции переменного г
В дальнейшем необходима формула
- t<z)-r яр' (г) + Ч> (г). 143)
где черта сверху означает сопряженную функцию [т. е. <р' (г) -
сопряженная функция по отношению к ф' (г) и т. д. J, а
*М = -2Г-
Смещения через введенные функции представляют так;
2р. (и 4- iv) = юр (2) - гф' (г) - ф (г). (44)
3 - v
где к - 3-4v - для плоской деформации; к = ~ - для плос-
кого напряженного состояния.
Компоненты напряженного состояния определяют но формулам Колосова-
Мусхелишвили
ох + оу = 2 [ф' (г) 4- ф' (г) ]; о у - ох 4- 2*1*3, = 2 [гф" (г) + ф' (г)
].
В случае первой основной задачи производные согласно формулам 09)
известны на контуре области, т. е. имеем граничную задачу
Ф (г) 4- гф' (zj 4- ф (z) = fi + ifа + const, (46)
где h (х, у), /а (*. У) - известные на контуре функции.
В случае второй основной задачи на основании формулы (44) имеем граничную
задачу
жр (г) - гф' (г) - (г) = 2ц fei + Ш- (4?>
где glf g% - заданные на контуре функции.
Необходимо определить аналитические функции ф (г) и ip (г),
удовлетворяющие на контуре области условию (46) или (47).
Для решения указанных граничных задач широко используют методы теории
функций комплексного переменного (см. Дополнительные сведения по плоской
задаче и работы 110, 14, 16, 18]).
Плоская задача
41
Плоская задача для бесконечной полосы. Решение строится при помощи
интегралов Фурье. Функцию Эри разыскивают в форме
Ф - | <pi (Ху) cos Хх tfX j | (р2 (Ху) sin Ха- cfX
Ось х направлена по оси полосы, начало координаты - посреди"-¦ (см. рис.
4). Если полоса нагружена симметрично относительно оси у, второй интеграл
можно опустить; при кососимметричной нагрузке можно опустить первый
интеграл. Функции (Ху), <р8 (Ху) являются решениями дифференциального
уравнения
т. е. (/ = ¦. 2)
<р/ = А,- ch Ху [ Bi sh Ху -\ С,Ху ch Ху 4- D/Xy sh Ху,
где А/, Bj, Cj, Dj - вообще говоря, функции X. Если напряжения ах, Су
симметричны относительно оси х, то В/ - О, С{ - 0.
Вычисляя напряжения
сх --=* J cos Ьг + j siT1 ^ к и т- Д-
и сопоставляя их на краях полосы у - ±h с заданными граничными значениями
напряжений (записанными при помощи интеграла Фурье), определяем величины
Л/ (X), . . ., D/ (X),
Плоская задача для анизотропного тела. В длинном цилиндре при нагрузках,
перпендикулярных к образующей цилиндра в не меняющихся вдоль нее, в
случае, когда имеется в каждой точке плоскость упругой симметрии,
нормальная к оси цилиндра, реализуется плоская деформация. Функция
напряжений удовлетворяет уравнению
'Ж д1ф ft д*Ф
" ^ т Рп -~щГ " '
где р22 ри - упругие константы.
В однородной анизотропной пластине, имеющей в каждой точке плоскость
упругой симметрии, параллельную срединной плоскости, При краевых
нагрузках, лежащих в срединной плоскости, реализуется сообщенное плоское
напряженное состояние. Функция напряжений Удовлетворяет приведенному выше
дифференциальному уравнению при сколько иных значениях коэффициентов.
боте Кп'Ы Реше1шя и различные частные задачи рассмотрены в ра-
42
Теория упругости
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Основные уравнения в цилиндрических координатах. Рассматриваем тело
вращения, осью которого является ось Ог цилиндрической системы координат
г, ф, г. Предположим, что нагрузки также симметричны относительно оси Ог.
Из рассмотрения исключается случай кручения круглого вала переменного
диаметра, тогда смещение v = 0, а и = и (г, г); w = w (г, г).
Компоненты деформации
ди и dw
f ф = Т ' '*=~ЗГ'
_л _л (48)
W - 0; w - 0- У" - -д, -
Дифференциальные уравнения равновесия (13) гл. 1 принимают более простой
вид
ваг J_ дх,г дг ' дг дТгг I дог дг 1 дг ' г
(49)
Условия сплошности Бельтрами-Митчелла в рассматриваемом случае таковы:
2 / . . 3 п
Д0,-7Г("г_0<р) + Т1-.-= 0;
. , 2 . . 3 I йо п
АоФ + 7Г(а,-сф) + -
А I 3 1,20 Л
а г 3 д2о тГ2 " + 1 + v ' ВгВг 7Г ~ •
(50)
где Д -оператор Лапласа:
д_ J___________д д2
дг* • г ' дг + г>~ бфЗ + Ог! •
Осесимметричные задачи
43
Дифференциальные уравнении равновесия удовлетворяются с помощью функции
