Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
тКу cos пх + оу cos пу = 0; тхг cos пх x,,z cos пу - 0;
(1)
на торцах стержня (г = 0 и г - I)
{ ^ глг dQ - 0, |* j* tygd&i = 0, f J oz dQ
=> 0;
(2)
*q 'd
240
Кручение стержней
J j ("#* - УГхг)№ = Л1.
•)
где п - внешняя нормаль к боковой поверхности стержня; о*, of/ и ог
нормальные напряжения; тХу, тхг, xtjZ - касательные напряжения; Q -
площадь поперечного сечения.
Задачу решаем непосредственным определением напряжений, no.ii, зчясь
полуобратпым методом Сен-Венана. Положим
о* = о" - тх.
= О,
О)
определим остальные компоненты напряжений так, чтобы удовлетворить всем
уравнениям теории упругости.
Онлнсно равенства (4) дифференциальные уравнения равновесия
(5)
примут вид дг
дах 0хху &гХг
'¦ ~~й)Г Ь ~дГ = 0;
dr ху до у dr у г - 0'
~~дх~ г~ф~ dz
е)тхг 0х"г day
дх ' 7 Ф "и ~дГ
dr "2 _ о drX2 dr у г
dz дх * Ф
дог
dz
а дифференциальные уравнения совместности деформаций, выраженные в
напряжениях
До* - До*
До.
<К5 4 1 д*Ь
дх2 =0: Ат^ 1 I -|- v дхду ~0:
1 h v
где S = ол - о" -+- oz; v
Irv
1 <PS _n . _I &S
Г+7' - u- лт"*- T+T "dyfc ~~
I <PS " . , 1 d*s
' a о - О, 4ТZX 1' T-J * -j \ - 0,
da2 1 v dzdx
(7)
- коэффициент Пуассона, а Д =
, d(r) d2
*r -дз т -t-j----------------оператор Лапласа, приводятся к виду
Ф3
d2a? _ d2az __ й2сгг dx2 dry2 да2 dx ду"
I dhz п х 1
1 +
д2ог
дудг~
так как па основании равенства (4) S = ог, а Дох = Дор - ^тху = 0. Из
первых двух уравнений равновесия (6) следует, что напряжения тАг
Постановка задачи
241
и хуг не зависят от координаты г, т е эти напряжения одинаковы во всех
сечениях стержня.
Из уравнений совместности (В) непосредственно следует, что ог есть
функция координат х, у и г вида
ог --- Агу -|- Вгх~\- Dx-\- Еу-\¦ Fz-\- П. (9)
Подставляя выражение (9) в торцовые условия (2), для нахождения
постоянных получаем однородную систему шести линейных уравнений, из
которой следует, что А - В - D - Е - F = Н = О, т. е. oz - О во всех
поперечных сечениях стержня.
Тогда уравнения равновесия (6) и уравнения совместности (8) примут вид
Лт*г - О; Дту, - 0. (II)
Следовательно, принимая, что три составляющие напряжений оА, Оу и хху
равны нулю, остается определить распределения касательных напряжений ххг
и туг но поперечному сечению скручиваемого стержня так, чтобы они
удовлетворяли исходным уравнениям (10) и (II) и граничным условиям (I)-
(3), так как при этом нормальные напряжения ог во всех сечениях стержня
тождественно равны нулю
Продифференцировав уравнение (10) по х и вычтя нз него первое из
уравнении (11), получим
*•" -0 (12)
±(. fly ^
дх
-.0. (13)
Аналогичным способом с помощью второго из уравнений (11) найдем д I dxyz
дххг
дх \ дх ду
Из уравнений (12) и (13) непосредственно следует, что
^ с. ' <">
где С - постоянная, подлежащая определению в дальнейшем.
.-Заменив в левой части уравнения (14) напряжения хкг и хуг их
выражениями через перемещения, т. е.
,,(ди ди> \ _/dy , сЬ\
г*'-а(д7 ¦ ~д7)' + (|а>
где G - модуль сдвига материала стержня, а и, v и w - компоненты смещения
точек стержня по направлению координатных осей х, у иг, получим
дххг дхуг Л д ( ди uv \
242
Кручение стержней
Пользуясь выражением для компонента элементарного вращения относительно
оси г
_L ( da \
2 \ дх ду / *
(17)
из выражения (16) получим
дтХг дт.
_ __ 2GB, (18)
ду дх
_ d<az
где () = -^------угол закручивания на единицу длины волокон стержня,
параллельных оси стержня (часто этот угол называют круткой).
Следовательно, решение задачи о кручении призматического стержня сводится
к интегрированию уравнений (10) и (18).
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ И
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Общее решение основных уравнений (10) и (18) ищем п форме I t)l J
т"^со|г; т<* = ^се-1г> (,9)
где U (х, у) - некоторая функция от переменных х и у. Эту функцию
называют функцией напряжений при кручении или функцией Прандтля. При
таком выборе общего решения (19) уравнение равповесия (10)
удовлетворяется тождественно. Подставив выражения (19) в уравнение
совместности (18), получим следующее уравнение для определения функции
напряжений V (х, у):
Следовательно, функция напряжений U (х, у) в области поперечного сечения
скручиваемого стержня должпа удовлетворять уравнению Пуассона (20).
Рассмотрит] граничные условия на боковой поверхности стержня. Первые два
условия из уравнений (I) на основании равенства (4) удовлетворяются
тождественно. Подставив выражения для напряжений тХг и TyZ из равенств
(19) в третье условие (1), получим
cos пх - cos пу = 0. (21)
Заметив (рис. 2), что
л dx dy
Общее решение основных уравнений
243
запишем условие (21) на контуре н виде
dU дх '
--0.
(23)
Отсюда слсдусг, что функция напряжений V (х, у) на контуре поперечного
сечения стержня должна принимать постоянное значение.
В случае, когда поперечное сечение стержня представляет собой односкнзиую
область, это постоянное значение можно выбрать произвольно. Для сплошных
стержней величину этой постоянной принимают равной пулю, т. е.
