Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
<'J,w = f'*<o>+-^r<°>*+J jtrrr-****,=
Ч (& _ г* \ U
Ых \ 6 24 )
Из условия у (/) - О
...
dz
Ч1а . 24 EJ г '
9
^- z -"¦ /д. -L --
Ум &
Наибольший прогиб
. Ч (& 2EJX { G
(-4)
24 I 24EJ,.
Прогиб от действия перерезывающей силы
"" W - -SF f (4- - *¦ =- -ZF-r ш ~
О
Наибольший прогиб
(_1_\ kqP уед[ 2 ) " 8CF '
Отношение максимальных прогибов
"4-т) ,
384 Jx Е
40 pi1 G '
Для стержни в виде тонкостенной трубы
ft = 2; F = ndtsi Jx = -g- v=0,3; К =6,24
Определение прогибов при помощи интеграла Мора. Метод определения
прогибов стержня, получивший широкое практическое применение, основан на
использовании интеграла Мора [1" 9, 10, 14].
221)
Растяжение и изгиб стержней
Если требуется найти прогиб стержня в сечении г - о (рис. 30, о), то в
этом сечении прикладывают единичную силу и определяют изгн-
Рассматривая работу внутренних и внешних сил в единичной системе на
дополнигельных (виртуальных) прогибах, в качестве которых принимаем
действительные прогибы стержня, получим
где Мк (г) и М1х(г) - изгибающие моменты в сечении стержня от внешних сил
и единичной силы.
Равенство (118) выражает интеграл Мора. При определении прогиба по инти
ралу Мора положительное значение соответствует совпадению направлении
прогиба и приложенной единичной силы.
Влияние перерезывающей силы на npoin6. Интеграл Мора с учетом
перерезывающей силы имеет вид
где Qy (г) и (г) - перерезывающая сила в сечении г; k - коэффициент
сдвига |см. формулу (112)1
Интеграл Мора для неравномерно uaipc-то го стержня. В этом случае следует
учесть работу силовых факторов от единичном силы на температурных
деформациях. Интеграл Мора будет
бающий момент от этой силы в сечениях стержня (рис. 30, б).
(118)
о
Рис 30
I
Мх (г) Ми (¦?) EJx (г)
о
I
t
где Mix (г) = -? \ ecty dF - условный температурный момент. F
Модули упругости и сдвига считают постоянными.
Прогибы стержня
221
Интеграл Мори для пространственного из г и 6 а. При изгибе стержня п двух
главных плоскостях (рис. 31) перемещение точки стержня в произвольном
направлении определяется
следующим интегралом Мора /
, Г ( Мх (г) М1Х (г)
J V ^х(г) "t"
о
Му (г) Муу (г) Q,/ (г) Qiy (г) (
?/"(*) ^ v ОТ (/)
+^-aWL)*. *"¦>
где Мх (г), Му (z), Qx (г), Qy (г) - изгибающие моменты и перерезывающие
силы в сечении от внешних нагрузок; Mlx (z)" M\v (г), QIX (г), (г) то же
от действия единичной силы, приложенной в направлении искомого
перемещения. Величина 6 выражает проекцию полного перемещения точки на
направление "/"
ага)
РИС. 32
Определение углов поворота сечений с помощью интеграла Мора.
В этом случае (рис 32) в сечении г= а прикладываем момент, равный единице
(единичный момент).
Угол повороти
,w = /"-щыа.*. (.22,
г
Формулы (122) и (118) совпадают, но величины М1Х{г) имеют разный смысл. В
равенстве (122) М |А (г) означает изгибающий мочен i н сечении г от
единичного момента в сечении о.
Положительные значения угла поворота получаются в том случае, если его
направление н направление приложенного единичного момента совпадают. Углы
поворота с учетом влияния перерезывающей силы и неравномерного нагрева
определяют но приведенным ранее формулам.
222
Растяжение и изгиб стержней
Обобщение интеграла Мора. В некоторых случаях целесообразно использонать
"единичную систему сил". Например, если требуется определить прогиб 6
точки В относительно прямой, соединяющей точки А и С (рис. 33). то
единична я система состоит из единичной силы
в точке В и двух уравновешивающих сил в сечениях А и С. Определяя М 1х
{г) и внося его в интеграл Мора, получаем искомый прогиб. Подобным
образом можно использовать различные системы, причем физический смысл
результата устанавливают исходя из того, что интеграл Мора представляет
работу сил единичной системы на действительных перемещениях.
Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина. Для вычисления интеграла
Мора в практических расчетах используют правило Верещагина. Это правило
основано на том, что эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки
состоит из отрезков прямых (рис. 33). Если на участке стержня от zt до z2
(рис. 34) эпюра М1Х (г) - прямая линия н жесткость стержня постоянна, то
интеграл Мора в пределах участка
Изгиб стержней на упругом основании
223
где F - площадь эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (площадь
ABCD)\ М1Ч - ордината эпюры от единичной нагрузки в сечении,
соответствующем центру тяжести площади F. Равенство (123) справедливо при
условии, что j
изгибающий момент от внешней |
нагрузки М (z| в пределах участка не изменяет знака. Величина М1Ц
считается положительной, если она совпадает по знаку с М (z).
Абсциссы центра тяжести для часто встречающихся участков эпюр изгибающих
моментов показаны на рис. 35.
Пример В. Определить прогиб точки А для балки под действием двух
сосредоточенных сил (рис. 36).
Решение. Прикладываем в сечении А единичную силу и строим эпюру
изгибающих моментов от внешних сил к от единичной силы. Для удобства
