Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
+
Р dz
р4г J ? <s) Лг (Р (? - s)] ds.
(136)
¦дат-§-")>. -§-(0). -g-<o>-
в начальном сечении z - 0.
прогиб и производные прогиба
228
Растяжение и изгиб стержней
Функции А. Н. Крылова
К0 (Рг) = ch Рг cos Рг; (137)
I
Кг (рг) = sh Рг- sin рг. (139)
К8 (Рг) = -J- (ch рг - sin рг - sh рг cos Рг)- (140)
Значения функций Крылова приведены в табл. 2 гл. 21. а производные - в
табл. 6-
ь. Производные функций А. Н. Крылова
Функция -Нт*,№1 -JT -?г к. №| -рг-ъг Kf(Р"
(02) К. <рг> Кш <Р*> А, (рг) -4К, (рг) К, (Рг) К, (рг) Kt (Рг) -4К, (рг> -
4К. (рг) К. (рг> К, (Рг) -4К, (рг) -4К* (рг) -"Л" (Рг) К" <рг)
ь
Мп, Qn и при учете сосредоточенных воздействий (рис. 41) уравнение
упругой линии имеет вид
у (г) = у (0) Ко (Рг) + • ~~ (0) Кi (Р*' +
_L
Р* '
ми
-pfKAР*Н -й---й-Кз(Рг)
<2о
F.J
| е (Q,) j(r)' К* IP (г - -t
?" ли
р,
Р*?7
А3[Р(г - bt)] f
+ ~ЩТ J Я (s> Ка (Р (г - s)] ds.
(141)
где е (а,), е (?>,-) -единичные разрывные функции (см. стр. 214).
Случаи нагружения. Так как уравнение упругой линии балки на упругом
основании совпадает с уравнением для прогиба цилиндрической оболочки, то
можно воспользоваться результатами, помещенными в гл. 22 (случаи
осесимметричного нагружения оболочки конечной длины [4]).
Продольно-поперечный изгиб
229
Применительно к балке на упругом основании следует заменить D
и, Ы "
на LJ И -п- на к
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
Основные уравнения. Изгиб стержня под действием поперечной нагрузки с
учетом влиянии продольных енл называют продольно-поперечным изгибом (рис
42) Влин-ние продольных сил оказывается
сущее I венным, если их абсолютная $ ., > t it AJ М ( ш д,
величина имсег один порядок с ве- ' личиной усилий, вызывающих потерю
устойчивости стержня. Рис- 42- Продольно-поперечный
Рассмотрим плоский изгиб стерж- ИЗП1 СТСРЖНЯ
ия. Условия равновесия элемента
стержня (рис -33) при малых отклонениях (cos q: = 1, sin Ф = "j) d
q \ -^-(A'q>);
<IQ
(142)
ilM
~dF
dN
dz
0,
(143)
(144)
,145,
где i) и уо- упру i ос и первоначальное смещение оси стержня; q и п -
интенсивность поперечной и продольной распределенной нагрузок; N -
продольное усилие. Существенно, что урапнение равновесия элемента стержня
составляется для деформированного состояния.
Уравнение изгиба стержня имеет такой же вид, как и для обычного
поперечного изгиба
d*y Мл dz* ~ EJX *
(146)
Из равенств (142), (143) и (145) вытекает дифференциальное уравнение
изгиба стержня с учетом влияния продольных сил
(|47)
Краевые условия для уравнения (147) при различных схемах закрепления
концов стержня приведены в табл. 7.
230
Растяжение и изгиб стержней
1. Краевые условия уравнении (147)
Схема закрепления Краевые усливлн
,_0: -g_.
Jfc=*
N ~егт * d*y М dz2 ?./ * X - р л. К *У. ЧЕ - + ИГ
Продольные силы, постоянные по длине. Общее решение. Рассмотрим
продольно-поперечный изгиб стержня постоянного сечения. Дифференциальное
уравнение упругой линии стержня имеет следующий вид:
d*y К <&/ Я_ , '!*Уо /м"\
dz* EJX' dz2 EJx^ EJX' dzs * 1 ;
Общее решение уравнения (148) при действии растягивающей силы (^>0)
у = С, + Сгг -\- С3 ch /ег + С9 sh kz 4- у*, (149)
*= Уж,' <ia>
у* - частное решение неоднородного уравнения (148).
Произвольные постоянные С; определяют из краевых условий. При действии
сжимающей силы (Л' 0) решение имеет вид
у = Сл -J- С2г+ Cscos kz~\- С4 sin у*. (151)
Решение по методу начальных параметров. Решение в нормальных
фундаментальных функциях (по методу начальных параметров) имеет вид:
Продольно-поперечный изгиб
231
при действии растягивающей силы (N > 0}
У (г) = у(0) ¦ 1 -г- у' (0) г -| | (") (cli /.г - I} +
+ 0- (0) 4r(sh ~ кг> + "'* (*);
при действии сжимающей силы (Л/ < 0)
*(*) -=#(°И +у' (0)г + (0)-^(1 - соя /;г) +
/1эгу 1
+ ~<Ф~ (0) W(Аг ~~ Sm (2)
Решения для частных случаев нагружения приведены в табл. 8.
Приближенное решение. Анализ точных решений показывает, что особенности
прогибов и изгибающих моментов в задачах продольно-поперечного изгиба
зависят от безразмерною параметра гибкости ст ер жня
1дс /V - осевое усилие, действующее на стержень; Пкр - критическая сила
при потере устойчивости стержня.
Для стержня па двух шарнирных опорах параметр гибкости
м*
v= п'EJ • (153)
Для прогиба стержня от действия внешних нагрузок можно использовать
приближенную формулу
У (*)-
У (г) (154)
1 + v *
где у (г) - прогиб только от действия поперечной нагрузки.
При действии растягивающей осевой силы (v 0) прогиб уменьшается, при
действии сжимающей силы (V <т 0) прогиб увеличивается. Формулу (154)
применяют при v> -1. При v = -1 у (г) -> оо.
Формула (154) дает точные результаты, если прогиб от действия поперечной
нагрузки совпадает (с точностью до множителя) с прогибом стержня при
потере устойчивости.
- Некоторые случаи нагружения при продольно-поперечном изгибе
232
Растяжение и изгиб стержней
Продолжение табл
Продолжение тайл. 3
Схема
нагружения
Уравнение упругой линии
Уравнение изгиб.лоны1
U
