Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые авторы называют (2.22) гармоническими условиями, а соответствующую калибровку — гармонической калибровкой. Гармоническими условиями в точной теории Эйнштейна называются условия (У—??^)^ = 0. Их линеаризованная версия, получаемая с помощью выражения для определителя метрическо-
58 го тензора в линеаризованной теории (2.6) и контравариантных компонент метрического тензора (2.5) как раз совпадает с условием (2.22).
Из (2.21) и (2.22) следует, что в лоренцевой калибровке уравнения поля линеаризованной теории тяготения перейдут в неоднородное волновое уравнение:
?V,v=—16я V (2.24)
Удовлетворяет ли решение (2.24) условию Лоренца (2.22)?
Поскольку Tilу подчиняется закону сохранения в спецреляти-вистском виде, существование таких решений гарантировано. Наоборот, из (2.22) и (2.24) сразу следует закон сохранения (2.13). Уравнения (2.22) и (2.24) являются основными уравнениями линеаризованной теории гравитации (в лоренцевой калибровке).
В случае ограниченной системы (в отсутствие падающего извне излучения) можно (по простейшей аналогии с электродинамикой) общее решение (2.24) записать в виде запаздывающего интеграла:
= (2.25,
где г'— радиус-вектор бесконечно малого элемента источника; г—радиус-вектор «точки наблюдения» поля.
§ 2.2. АСИМПТОТИКА ПОЛЯ ОСТРОВНОЙ СИСТЕМЫ И КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Предположим, что некоторая система тел ограничена в пространстве, так что Т^Ф0 в конечной окрестности начала координат. Гравитационное поле при заданном г') определяется выражением (2.25). На больших расстояниях от материи, т. е. лри |г| =/-^1^1 = т\ возможно следующее разложение:
|г—г'Г1 Л-X1XiT-* + 1I2XiXi (Ъх'1х'1 —г'26/;) т~ь + О (г-4).
(2.26)
г— I г—г' I =XiXiT-1 + 1I2XiX' (XiXi-Tr2 6г') г~3 + О (г-2),
где для пространственных индексов не делали различия ковари-антных и контравариантных компонентов, так как мы находимся в плоском фоновом пространстве с їіи=ті22="пзз= 1. Величина I г — г'I входит также в выражение для запаздывающего времени t'=t—|г — г'|, являющегося аргументом Tpiv. Разложим Tiiv в ряд в окрестности точки t — г:
OO
7^-lr-r'l, = r')j (Г—|г—г'І)".
П=0
(2.27)
59 Мы воспользовались тем, что производная по t — г равна производной по t. Из (2.26) и (2.27) получим
|Г-Г'| ~~
. Jt1V
= TlivV-Г, Г')
+ j^r ^xfix'1 ~ г'26//)]
+ — T^(t — г, г')
Qt ^v V / г2 2|Л V /
H--^UV (t — r, г') - Х>1Х>!
dt2 / [ 2г3
+
+ ... . (2.28)
Здесь мы ограничились только тремя членами разложения (2.27). Члены, которыми мы пренебрегли, весьма малы, если характерный линейный размер L изолированной системы тел много меньше длины волны испускаемого излучения X, т. е. если характерные скорости тел V в системе малы (приближение медленного движения) :
u«L(o<lf (2.29)
Действительно, если источник претерпевает заметные изменения за время Г«со-1, то (OnIdtn)TllV-(оп и из (2.26) следует, что [ (dn/dtn) Tjiv] (г — I г — хг I)?г« (coL)n, поскольку типичные |х/{ | < в то время как \хУг\^\. Решение для Yjiv (2.25) после учета (2.28) и перегруппировки членов можно записать в виде
-f YlwJ + ¦І [(t^+1Tj+
+ -ff J [tmx-xf+ (^ + -?^) (W/-r'»6VV. (2.30)
где дифференцирование по времени обозначено точкой, а у Tjiv и его производных опущен аргумент (t — г, хн). Чтобы найти необходимую форму интегралов, входящих в (2.30), введем обозначения:
M = J r00d(3V, Pm= -j Г0иЛ\ Nmn = § Tnindl3)k'. (2.31)
Назовем M массой, a Pm — импульсом системы тел; их соответствие величинам, рассмотренным в § 1.5, обсудим ниже. Введем теперь моменты, связанные с этими величинами:
Ink... = J T0Qx iXf хК . .A', Pm = J T^/OW.. .А',
Nmniik... = ^TmnXiXiXk.. .А'. (2.32)
60 Эти моменты должны быть связаны законами сохранения (2.13) тензора Tjiv. Из (2.13) при р,=0 после интегрирования по переменной хп и применения теоремы Гаусса получим закон сохранения массы в виде М=— § T0Jtijd^Sf=Oy поскольку 2-поверх-ность 5 можно выбрать лежащей вне системы тел, там, где T0J = = 0. Аналогично из (2.13) при \i=j следует сохранение импульса Pm=0. Итак,
M=Const Pm = const. (2.33)
Тензор Tw является симметричным и удовлетворяет дифференциальному закону сохранения тензора момента импульса, как и в СТО: (x'^Tw — xf*T*v),v=0. Отсюда при K=Oy \х=т после интегрирования получим
X0Pm — 7w=const, 7m=Pm=const. (2.34)
Это не что иное, как закон равномерного прямолинейного движения центра масс. Определяя хсн выражением Im=Mxc4 и вводя новую систему координат так, чтобы ее начало совпадало с этим центром масс, получим
т. е. полный импульс и дипольный момент системы тел (см. определение Im в (2.32)) в этой системе координат исчезают^ Если в дифференциальном законе сохранения тензора момента импульса положить K=Iy \х=ту получим закон сохранения момента импульса
Поскольку выбрано, что центр масс находится в начале координат и речь идет о внутреннем моменте импульса, он и обозначен как Sim.
Чтобы найти другие соотношения между моментами (2.32), умножим TivjV=O на х'к и после опускания индексов, интегрирования по (xf) и применения теоремы Гаусса ко второму слагаемому (с учетом того, что вне системы T7J = O) получим, что Pik = =—Nik. После замены индексов и суммирования с началь-
