Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2.1. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ
Исходным предположением линеаризованной теории гравитации является существование в пространстве-времени системы координат, в которой метрика близка к метрике Минковского:
gap =TjaP+ Лар, |М<Ь (2-1)
Мы предположим, что не только компоненты Aap малы (по модулю) по сравнению с единицей, так что их высшими степенями можно пренебречь, но и что также малы все производные В общем случае следовало бы писать (2.1) в виде ^rap=Tjap + + eg(i)a? + e2g(2)ap+ ..., где є—малый параметр, и аналогично проводить разложение всех выражений, построенных из метрики, и оставлять только первые нетривиальные члены. О методах аппроксимации, выходящих за рамки линейного приближения, мы расскажем в гл. 4. Здесь же положим Eg(W==hat и будем помнить, что Л«? и их производные — малые величины.
Малость /la? и их производных в каждой конкретной ситуации задается малостью некоторых безразмерных параметров, характеризующих данную физическую систему. Чтобы читатель получил определенное представление без детальных расчетов, скажем, что, например, в случае малых систем с характерной массой My линейным размером L и частотой со (т. е. с характерными временами изменения системы со-1) компоненты /la? на достаточном расстоянии от системы имеют порядок Mfry если источник статический или квазистатический, т. е. его скорость V« LoxCl. В обычных единицах
\hat\~GM/c2r<GM/c2L.
50 Линеаризованная теория адекватна, если GM/c2L^Q)<^ 1, т. е» безразмерный гравитационный потенциал мал. В динамическом: случае
так что динамические (излучательные) компоненты h обычно еще меньше, чем статические. Приближенные значения безразмерного потенциала на поверхности различных систем таковы: Земля—Ю-9, Солнце—Ю-6, белый карлик—IO"4, нейтронная звезда— IO"1.
Внутри данных объектов компоненты \ha^\ могут быть больше, однако даже внутри обычной звезды, например Солнца, нельзя ожидать чтобы они превзошли IO"4. При этом предположения линеаризованной теории справедливы с достаточной точностью не только вдали от источника или вне источника, но и во всем пространстве-времени (включая внутренние области массивных объектов).
Оценку (2.2) для динамических систем естественно получать из решения уравнений линеаризованной теории, которые мы рассматриваем ниже. Однако уже априори ее можно сделать, предположив, что гравитационное излучение (хотя бы в линейной теории) должно иметь свойства, аналогичные свойствам электромагнитного излучения (разумеется, должны быть и отличия). Вообще говоря, в электродинамике излучением наинизшей муль-типлотности является дипольное. (Монопольное излучение, т. е. точно сферические электромагнитные волны, не существует в силу закона сохранения заряда.) Но в случае изолированной системы зарядов с одинаковыми (включая знаки) удельными зарядами Єі/trii=const дипольное излучение отсутствует в силу сохранения полного импульса системы, и поэтому мультипольное разложение потенциала начинается с квадрупольных членов. Нечто похожее должно иметь место и в случае гравитации, поскольку принцип эквивалентности гравитационной и инертной масс означает, что «удельный гравитационный заряд» одинаков для всех тел. Здесь роль потенциалов играет метрический тензор; его разложение по мультиполям должно начинаться (по аналогии с электромагнетизмом) с членов, содержащих вторую производную квадрупольного момента по времени. Поскольку речь идет об излучаемом поле, все величины убывают с расстоянием как г~х (потенциалы, интенсивности и их производные). Отсюда можно ожидать, что в гравитационном поле динамические величины ЛаР будут иметь вид
это оценка (2.2), записанная в геометризованных единицах. Чтобы ЛаР было безразмерным, его следует домножить на фактор Gjc\ как и в (2.2).
GM L2CD2 GM V2 < GM
с2г с2 ^ с2г с2« C2T
(2.2>
It, . 1 d*D I ML2 I ЛЛ г 2 о
nao--------~ — ML2 со2;
ар| г dl2 г T2 г
(2.3)
5t Оценим численно значения /іаР на Земле для случая нестационарного гравитационного поля — волны, приходящей от пульсара, расположенного в центре Крабовидной туманности, т. е. вращающейся нейтронной звезды. Предполагаем, что этот пульсар имеет значительную асимметрию, которая проявляется в изменении во времени его квадрупольного момента; например, пульсар может иметь форму эллипсоида вращения, вращающегося не вокруг оси симметрии, а перпендикулярно ей. Тогда по отношению к фиксированным в пространстве осям эллипсоид будет занимать одинаковое положение при повороте на 180° и частота изменения квадрупольного момента со будет в два раза больше частоты вращения пульсара, как дают наблюдения gl> = 2Q=400 рад/с. Kpa-бовидная туманность удалена от солнечной системы примерно на P=2 кпк=6-1019 м, масса пульсара 1,2 Л4о=2,4-1030 кг, его радиус L^ 1,2-IO4 м. Подставив эти значения в (2.2), получим |Лар| ~ Ю"23. (Вследствие несимметричного расположения в нашем случае только малой части всей массы пульсара реальное значение |ЛаР| должно быть еще меньше.) Эта оценка подтверждает, что для гравитационных волн, приходящих на землю от космических объектов, с высокой степенью точности можно использовать линеаризованную теорию.
