Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим основы этой теории.
Предположим, что ковариантные компоненты метрического тензора определяются выражением (2.1). Контравариантные ком-лоненты тогда запишем в виде
g®0 = T|<# —А<* (2.4)
причем ha$ определим с помощью условий ортогональности (1.8), так что в линейной аппроксимации получаем
/lao = T1a?Y1Y6/l?T. (2.5)
Аналогично получению hao из Лрт поднятием индексов с помощью метрики Минковского мы можем, используя (2.1) и (2.4), поднимать и опускать индексы у всех величин первого порядка, входящих в /ia?. В линейном приближении определитель метрического тензора
Sr^detIgra3I =-(1+/г), h==r\P°hP0 = h°0. (2.6)
Используя (2.1) и (2.4), представим коэффициенты аффинной связности (1.7) в линейном приближении:
1? = \ Iep (Vv + = Y (Afc* + (2.7)
Для вычисления тензора Римана достаточно в линейном приближении рассмотреть первую строку (1.39), что дает
RaM= (^ao.?v +A?v.ao—hay,?o— ^?o.av) = (2.8)
52 Свертывая римановский тензор по индексам а, у (при помощи TiaY), получим линеаризованный тензор Риччи (1.41)
^?o^Y^?a+^ao-A?o-Vo.a), (2-9)
свертывая по ? и б, получаем скалярную кривизну (1.42)
R = h%-h%. (2.10)
и, наконец, согласно (1.43) запишем тензор Эйнштейна (после некоторых переобозначений и простых преобразований индексов) в виде
0W=-J + (2.11)
Линеаризованный гравитационный закон Эйнштейна (после умножения (1.70) на коэффициент 2) примет вид (e=G=l)
+ = 16я7^. (2.12)
Прямым вычислением легко убедиться, что если подействовать на левую часть (2.12) оператором r\pvd/dxp, она обратится в нуль; тогда правая часть должна удовлетворять уравнению
Tr7Vv.p = 7?p = 0. (2.13)
Источник гравитационного поля — тензор энергии-импульса — в линеаризованной теории удовлетворяет закону сохранения точно в таком же виде, как и в СТО.
В линеаризованной теории при вычислении гравитационного поля конкретных источников мы будем исходить из вида функций этих источников в СТО; при этом тензор энергии-импульса не зависит от Aap и удовлетворяет уравнению (2.13). Если записать уравнения поля (2.12) в символической форме ddh~T, пригодной для оценки порядка величин, то становится очевидным, что вторые производные ddh малы, если мал тензор энергии-импульса источников. Если линеаризованную теорию рассматривать как приближение первого порядка, приближением нулевого порядка будет пустое пространство-время Минковского, ГаР=0, ga?=Tia?- Если безразмерные величины имеют характерное значение є<СІ, то T^e/L2, где L — характерный размер системы источников, поскольку ddh^e/L2.
В случае одного тела с характерным линейным размером L и массой M в самом грубом приближении левая часть (2.12) будет ддй — є/L2, а справа в обычных единицах имеем
2хГоо~2хрс2~ (16яб/с2) (M/L3).
Закон тяготения (2.12) дает \ha?,\^GMIc2L в согласии с нашей предварительной оценкой. В правой части закона тяготения мы учитываем только T0Q9 потому что для всех реальных источников
53 эта составляющая максимальна по абсолютному значению. Например, для тензора энергии-импульса идеальной жидкости имеем Too = P (i/o) 2, поскольку р, получим для скорости звука (dp/dp)1/2« (р/р) 1/2<1. Составляющие | Toi\«р| U0\ | Ui] =р X X (U0)2IuiI <Т00 (Vi=UJUo)y поскольку для обычной скорости в наших единицах всегда |иг'|<1; аналогично |7*j|<7oo.
Для других физических систем Too также является доминирующей компонентой, так что при оценках по порядку величины достаточно исходить из T00. Основными предположениями, гарантирующими, что линеаризованная теория может дать разумные следствия для всего пространства-времени, в грубейшем приближении являются условия
L21 Tiil I <L2Tоо~ I A., I « 8< 1, (2.14)
где параметр є характеризует величину поля тяготения (отклонение от метрики Минковского) внутри источников. Несмотря на то что гравитационное поле должно быть слабым, скорости движения источников в линеаризованной теории не ограничены. Хотя |Ггй|<Г0о, но в общем случае сильного неравенства |7\ц|<С
<С7\ю не должно быть (что мы предполагали в § 1Л, когда рассматривали свойства гравитационного поля и приближение ньютоновской жидкости (см. (1.68) и дальше).
Вернемся к закону сохранения (2.13). В § 1.1 мы видели, что из ковариантного выражения = 0 следуют, например, уравнение Эйлера для жидкости в поле тяготения ((1.53) и далее); гравитационное поле могло либо порождаться самой жидкостью, либо быть заданным извне. Понятно, что в закон (2.13) (не содержащий ковариантных производных) гравитационное взаимодействие не включено. Представим себе, например, что источниками гравитационного поля являются два тела, состоящие из пылевидной материи, т. е. в выражении для тензора энергии-импульса можно положить р = 0. Тогда (2.13) приводит к UvivUv=0, т. е. нулевому ускорению. Можно строго показать, что вследствие (2.13) тела будут двигаться по прямым с нулевым ускорением, если взаимодействие ограничено только силами тяготения (см. гл. 4). Линеаризованная теория позволяет определить гравитационное поле, создаваемое слабыми источниками (т. е. источниками со слабым внутренним полем тяготения), но не позволяет найти обратного влияния гравитационного поля на движение источников.
