Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
bi = 200~Ь %уГ}у ф 0 и, стало быть, уравнение (14) после
деления на функцию 2ЬХ примет вид (12). В результате новой замены а = | + л> Р = 5 —Л уравнение (12) приводится к виду (12х).
Остается рассмотреть случай Ьг — ас — 0. В качестве функции ? {х, у) примем отличное от постоянной решение
22
ВВЕДЕНИЕ
уравнения (9), а функцию rj (л:, у) подберем так, чтобы было соблюдено условие ацЦ + ЯЬцхЦу + сЦуфО. В силу равенства ail + 2blxly + сЦ = 0 из (15) и (16) имеем аг = = Ьг = 0. Следовательно, после деления всех членов (14) на arfx + 2ЬцхГ\у + ст]? получаем (13).
При Ъ2 — ас>0 уравнение (9) равносильно двум линейным уравнениям с частными производными:
афЛ + (Ь + УЬг — ас)<ру=*0, аф* + (Ь — У Ьг — ас) ц>у = 0, а при Ьг — ас = 0 — одному:
йфлг + Ь(ру = 0.
Следовательно, можно считать, что при Ь2 — ас> 0 функции 1(х, у) и г) (л:, у) являются решениями уравнений
а\х + (b + Vb2-ac)ly = 0, ar^ + ib- УЬ*-ас)цу=*0, (20)
а при &г — ас = 0 одна из этих функций, например ? (jc, у), является решением уравнения
об*+ 66,-0. (21)
Вопрос существования решений линейных дифферен-. циальных уравнений с частными производными первого порядка теснейшим образом связан с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что при достаточной гладкости функций 'а, Ь, с система линейных уравнений с частными производными (18) и линейные уравнения (20) и (21) в окрестности точки (х, у) области D задания уравнения (8) имеют решения нужного нам вида. Тем самым доказана возможность приведения уравнения (8) к каноническим видам (11), (12), (12х) и (13) в окрестности точки (х, у), т. е. *в малом».
§ 3. Простейшие примеры трех основных типов
уравнений с частными производными второго порядка
1°. Уравнение Лапласа. Обозначим через А дифференциальный оператор с частными производными второго порядка
1-1 ‘
f 3. ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА УРАВНЕНИИ
23
который записывается еще в виде скалярного квадрата A«VV векторного дифференциального оператора первого порядка (оператора набла)
1 *?¦
i «=1
где /<, ? =— 1, л,—единичные ортогональные координатные векторы (орты). Дифференциальный оператор А называется оператором Лапласа, а уравнение
Ац = 0 (22)
— уравнением Лапласа.
Характеристическая квадратичная форма (3), соответствующая уравнению (22),
1
положительно определена во всех точках пространства Еп. Следовательно, это уравнение эллиптично всюду в Еп. Более того, оно, очевидно, равномерно эллиптично в Е„.
Функция и(х), обладающая непрерывными частными производными второго порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа (т. е. являющаяся решением этого уравнения), называется гармонической функцией.
Непосредственной проверкой легко убеждаемся в том, что функция двух точек х и ?:
?(*, t)-(“-jlE ">2, (23)
I — log) 5 — дг|, я = 2,
где |5 — х\ — расстояние между х и I, при хФ% является решением уравнения Лапласа как по х, так и по ?. Действительно, при хФ\ из (23) имеем
Ц=.-\Ъ-х\-* + п\1-х\-'-*(11-х1)\ (24)
д8Я
Подставляя выражения -щ, t = 1.........п, из (24) в левую
24
введение
часть (22), получаем
ДЕ----------п|6-дсг- + п|Б-дС|—• J] (1,-х,)* = 0.
i= 1
Так как Е (х, 5) симметрична относительно х и ?, мы можем утверждать, что эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа и по ?, %фх.
Определенная по формуле (23) функция Е {х, 5) называется элементарным или фундаментальным решением уравнения Лапласа. При п = 3 она представляет собой потенциал единичного заряда, помещенного в точке х (или ?)•
Пусть S — гладкая гиперповерхность (замкнутая или разомкнутая) в пространстве Е„ и ц (5) — заданная на ней действительная непрерывная функция.
Выражение
и(х) = \Е {х, ?)n(?)dss, (25)
s
где dsi — элемент площади гиперповерхности S по переменному интегрирования 5. является гармонической функцией во всех точках х пространства Еп, не лежащих на S.
Справедливость этого утверждения следует из того, что, как уже было показано выше, функция Е (х, 5) при хФ\ гармонична относительно х и что при вычислении
производных t = l, п, операцию дифференцирования в правой части (25) можно внести под знак интеграла.
Выражение вида
“(*)= 2 [(S)tA*T •••• +
"4* (2ft +1)1 (¦*!» • • • » *П—i) | > (26)
где оператор Д* = Д(Д*-1), ахи v — произвольные полиномы относительно переменных xlt ..., хп-ъ также является гармонической функцией (гармоническим полиномом) переменных х1г ..., хп.
Действительно, так как в правой части (26) сумма конечна (под знаком суммы, начиная с определенного
f 3. ТРИ ОСНОВНЫХ ТИПА УРАВНЕНИИ
25
значения k, все ДЧ и A*v равны нулю), то
ЛА+1 ЛЦ,
У [(2й)1 дх\ + (2k +1)1 3*}] ’
f = 1, ..., п — 1,
f = 1, ..., л —
Afc+1vI.
Отсюда следует, что
Я
Аналогично доказывается гармоничность суммы и(х) ряда в правой части (26) при требованиях бесконечной дифференцируемости т и v, равномерной сходимости этого ряда и законности его почленного дифференцирования дважды по xit t=l, ..., п.
2°. Волновое уравнение. Уравнение с частными про-изводными
известно под названием волнового уравнения. Это уравнение часто встречается в приложениях. При га «= 4, если единица времени xt = t выбрана соответствующим образом, уравнение
