Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
где ф — заданная на S действительная непрерывная функция. Сформулированная задача носит название первой краевой задачи или задачи Дирихле.
Обозначим через G область пространства E„-i переменных xlt ..., x„-i. Задача отыскания регулярного решения и (х) уравнения (27) по условиям
где ф и г|э—заданные в G достаточно гладкие действительные функции, называется задачей Коши. Условия (43) известны под названием начальных условий.
Пусть D — область пространства Е„, ограниченная цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси хп, и двумя плоскостями хп = 0, хп = h, h>0. Часть границы области D без верхнего основания xn = h обозначим через 5. Требуется найти регулярное в области D решение и (х) уравнения (38) по краевому условию
где у —заданная на S достаточно гладкая действительная функция. Эта задача тоже называется первой краевой задачей для уравнения (38).
§ 4. Понятие интегрального уравнения
Iе. Основные определения и обозначения. Предположим, что а (к) и Ко (х, у, г) — заданные действительные функции точек х, у области D пространства Е„ и действительного переменного г. Когда г = ц> (у) является функцией точки у &D, то в предположении, что интеграл по области D:
lim«(x) = <p(^), x&D, y&S, (42)
и(х 1, x„-i, 0) = <р(*),
(43)
lim «(л:) = ф (у), y^S, хеД
(44)
* 4. ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
31
существует, равенство вида
«(*)ф(*) + $Яо[*, У, Ф(0)]dxy = 0, xeD, (45)
D
называется интегральным уравнением относительно неизвестной функции ф(х), *eD.
Интегральное уравнение (45) называется линейным, если функция К0 {х, у, г) линейно зависит от г, т. е. когда
К0{х, у, г) = К (х, у)г + К°{х, у).
Линейное интегральное уравнение можно записать в виде
а(*)ф(*) + $К(дс, У) Ф (У) dxy =¦ / (х), *<=?>, (46)
о
где
f(x) =—lK°{x, у) dxy, x(=D,
о
— заданная функция.
Линейное интегральное уравнение (46) называется однородным или неоднородным в зависимости от того, будет ли f(x) = 0 для всех xeD или /(л) отлична от тождественного нуля.
Функция К (х, у) носит название ядра интегрального уравнения (46), а интегральный член
\ /С (*, у) ф {у) dxy.
D
в левой части (46) — интегрального оператора, действующего над классом функций, к которому принадлежит искомая функция ф(дс).
2°. Классификация линейных интегральных уравнений. В случае, когда область D ограничена, а(х) непрерывна и ядро К (х, у) также является непрерывной (или ограниченной интегрируемой в обычном смысле) функцией точек х, у е D (J S, где S — граница области D, интегральное уравнение (46) называется фредгольмовым.
Фредгольмово уравнение (46) называется интегральным уравнением первого, второго или третьего рода в зависимости от того, будет ли функция а (л:) соответственно всюду равна нулю, всюду равна единице или отлична от тождественного нуля и от тождественной единицы.
При а(х)фО всюду в D U S интегральное уравнение Фредгольма третьего рода после деления всех его членов
32
ВВЕДЕНИЕ
на а(х) приводится к интегральному уравнению Фред-гольма второго рода.
Ниже речь будет идти исключительно об интегральных уравнениях Фредгольма второго рода. Доказательства основных утверждений из теории фредгольмовых интегральных уравнений будут даны в том случае, когда D совпадает с интервалом (а, Ь) действительной числовой оси, ядро К (х, у) является непрерывной функцией по
совокупности переменных х, у из квадрата а
f(x) непрерывна на сегменте а^х^Ь. В этих предположениях интегральное уравнение Фредгольма второго рода запишем в виде
ь
<р(х)-ЦК(х, у)ф(у)dy = f(х), a^x^b, (47)
а
где Я, —действительный параметр.
Когда при \х — у\-*-0 функция К(х, у) обращается в бесконечность как | х — у «о < п, гдел-размерность
области D, интегральное уравнение
Ф(лг) - \ J К (х, у) ф (у) dxy = f (х)
D
приводится к эквивалентному интегральному уравнении: Фредгольма второго рода с непрерывным ядром, и поэтому оно также называется фредгольмовым.
Частным случаем интегрального уравнения Фредгольмг второго рода (47), когда его ядро К (х, у) тождественно равно нулю при у>х, является интегральное уравненш Вольтерра второго рода
X
ф(х)-х $/((*, y)q>(y)dy=*f(x). (48:
а
Все утверждения относительно интегрального уравне ния (48) остаются в силе и для класса уравнений видг
* у
ф(*. У) — b\dt\K(x, у; t, т)dx —
а ь
X
—у; t)y(t, y)dt —
а
ч
Ki{x, у, т) ф (х, x)dx = f {х, у)
ь
§ 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИИ
которые также называются интегральными уравнениями Вольтерра второго рода.
Под уравнениями математической физики наряду с уравнениями с частными производными понимаются и интегральные уравнения.
Интегральные уравнения играют важную роль в различных областях математики. В частности, теория интегральных уравнений широко применяется при исследовании дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными.
§ 5. Упрощенные математические модели некоторых явлений, изучаемых в физике и технике
1°. Электростатическое поле. Мы здесь ограничимся рассмотрением плоского электростатического поля, т. е. плоской среды, в каждой точке Р которой определен двумерный вектор Е — сила поля. Введем декартовы ортогональные координаты х, у точки Р и для компонент вектора Е примем обозначения Ех, Еу. Будем предполагать, что функции Ех и Еу непрерывны вместе со своими производными первого порядка во всех точках поля.
