Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
18
ВВЕДЕНИЕ
Следует отметить, что не всегда можно найти преобразование независимых переменных, позволяющее привести уравнение (2) к каноническому виду не только во всей области задания этого уравнения, но даже вблизи данной точки области. В этом отношении исключение представляет случай двух независимых переменных, к рассмотрению которого мы приступаем.
Уравнение (2) в случае п = 2 в обозначениях
Ч = х, = У,
Ап = а(х, у), Л12 = Л21 = b (х, у), А22 = с{х, у),
Bt = d(x, у), В* = е(х, у), C = g(x, у), f = f(x, у) запишем в виде
Кривая ф (х, у) = const, где ф —решение уравнения
называется характеристической кривой уравнения (7), а направление (dx, dy), определенное из равенства
— характеристическим направлением.
Равенство (10) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение характеристических кривых.
Согласно пункту 2° § 1 уравнение (8) эллиптично, гиперболично или параболично в зависимости от того, будет ли квадратичная форма ady%-Jr2bdydx-\-c dx1 определена (положительно или отрицательно), знакопеременна или полуопределена (вырождена). В соответствии с этим уравнение (8) является эллиптическим, гиперболическим или параболическим в зависимости от того, будет ли дискриминант Ь* — ас квадратичной формы a dy2 + 4-2bdydx + cdx2 меньше нуля, больше нуля или равен нулю соответственно. Поэтому в области эллиптичности уравнение (8) действительных характеристических направлений не имеет, в то время как в каждой точке гиперболичности существуют по два различных действительных характеристических направления, а в каждой точке пара-боличностн имеется одно действительное характеристи-
а dy2 - 2bdydx-\-cdx2 = 0,
(10)
$ 2. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
19
ческое направление. Следовательно, при достаточной гладкости коэффициентов а, Ь, о область гиперболичности уравнения (8) покрыта сетью двух семейств характеристических кривых, а область параболичности — одним семейством характеристических кривых.
В случае уравнения
где т — нечетное натуральное число, равенство (10) имеет вид ут dtf-\-dx2 = Q, откуда следует, что это уравнение в полуплоскости у>0 действительных характеристических
направлений не имеет, в то время как в каждой точке прямой у —0 и полуплоскости у< 0 оно имеет по одному и по два характеристических направления. Записывая уравнение характеристических кривых в виде dx± ± (—у)т/2 dy — 0 и интегрируя, заключаем, что полуплоскость у< 0 покрыта двумя семействами характеристических кривых (рис. 1):
2°. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
В условиях достаточной гладкости коэффициентов а, Ь и о уравнения (8) всегда можно найти такое неособое преобразование ? = ?(*, у), т] = т](*, у) переменных х, у,
шШ
X
Рис. 1.
2
Х 2 =const.
т+2
20
ВВЕДЕНИЕ
при помощи которого это уравнение в данной области приводится к одному из следующих видов:
W + ^+A%+Btk+Cv=H (11)
в эллиптическом случае,
?щ+лЩ+вЩ+Си=н <12>
или
d2v d*v . я до , ry dv . „ „ .
+ АЩ +51^ + С1у = Я1 (120
в гиперболическом случае и
ф+Ац+Вц + С*-*1 <13>
в параболическом случае.
Возможность приведения уравнения (8) к каноническим видам (11), (12), (13) во всей области D его задания (или, как еще принято говорить, «в большом») довольно трудно доказать. Однако рассуждение, приводящее к осуществлению такой возможности, сильно упрощается, еслн ограничиться рассмотрением достаточно малой окрестности точки (х, у) области D.
В самом деле, в результате замены переменных ? = = ? (х, у), т] = г) (х, у) частные производные первого и второго порядка по х и у преобразуются следующим образом:
д _j. д . д д _______________? д . д
дх ~~ <9| ' ^ дц ’ ду д?‘ di\*
д* (1 З1 , ot _ сР , S' , t д , _ д
дх*~ *** Зт)2 + ^хх д| ^ххдт\ ’
д» t t д* , t , д* , Э* . t д , д
дх ду ~~ + ъху ^ + Чхщ ,
& t| ? | ot . Я* I „2 д2 I t ^ I ^
^уЦу ag дг\ ' T)f/ дц3 ' -УУ ' ТЬ« drj ’
где ? и ц с буквенными индексами х, у обозначают про-
t t 0*1 Г.
изводные, например, 1х = д~х, 1ХХ = ^ и т. д. В соответствии с этим уравнение (8) принимает вид
34» L №v А d2v j А dv dv
$ 2. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
21
где
ах ffi, tj) = + 2ЬЫУ + сЦ. (15)
i’l (?. Л) = а1х*\х + Ь (Ъхг\у + ^т] *) + с%уг\у, (16)
М5, Т|) = ar\*x + 2br\xr\y -f сх\1, (17)
у (5. Л) = «[*(& Л). */(1. Л)], a х = х(%, т)), у — у{1, ^ — преобразование, обратное ? = = I (х, у), г) = л (х, у). Явные выражения остальных коэффициентов уравнения (14) нас не интересуют, поэтому их здесь не приводим.
В случае эллиптичности уравнения (8), т. е. при № — ас < 0, в качестве ? (х, у)пц (х, у) примем решения системы уравнений с частными производными первого порядка
• якобианом
a?x+bly + Vac — b2i)y = 0,
ar\x+bx\y — Vcw — Ь?Ъу = О
(18)
В силу (15), (16), (17), (18) и (19) имеем
01 = ^ = ^^ + r|J)#0, bi-0.
После деления всех членов (14) на отличное от нуля выражение
^(Й + Л»
получаем (11).
Заметим, что система (18) равносильна уравнению (9). В этом легко убедиться, если принять обозначение <р = = 5 + *'л» гДе 1 ~ мнимая единица.
Пусть теперь Ьъ — ас>0 и функции ?(*, у) и х\(х, у) являются решениями уравнения (9), удовлетворяющими условию (19). Предположим, что аф О (при а = О и сф О рассуждение изменится очевидным образом). В этом случае в силу (9) из (15), (16), (17) и (19) получаем а1 = с1==0,
