Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
^ (24)
для которого начальное условие (18) имеет вид
и (0) = 0. (25)
Будем считать, что f(t, и) является скалярной аналитической в окрестности точки (0, 0) функцией переменных i и и, т. е. в этой окрестности она представляется
в виде суммы абсолютно сходящегося двойного степенного ряда
ОО
/(*> «)= 2 akitbul. (26)
к, о
5 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ
287
Для простоты записи будем считать, что радиусы сходимости ряда (26) как по t, так и по и равны единице.
Нашей целью является построение аналитической вблизи точки t — 0 функции u(t), являющейся решением задачи (24), (25). Допуская ее существование (впоследствии она будет найдена), при помощи последовательного дифференцирования тождества (24) с учетом условия (25)
мы можем вычислить в точке t = 0 значения всех
dtn
(dnu \
(ж)в=аУ' ’№Т)
«=1,2,..., i + /s? п — 1,
где (о„ представляет собой полином своих аргументов с положительными коэффициентами. Покажем, что радиус сходимости степенного ряда
“<0-2д (?)„<’ (28)
Я*= О
отличен от нуля.
Как уже было отмечено в предыдущем пункте, в силу сходимости ряда (26) существует положительное число М такое, что для всех значений индексов k, I имеют место оценки
|в«Ку- (29)
Поэтому в качестве мажоранты для f(t, и) можем брать функцию
FV' 2 (1 — 0 (1 — «)'
Обозначим через U (t) решение обыкновенного дифференциального уравнения
~ = F(t,U), (31)
удовлетворяющее начальному условию
6/(0) = 0. (32)
Ввиду того, что правая часть уравнения (31) дается
формулой (30), применением метода разделения перемен-
288
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ных легко находим его решение
«/=1—Vl+M log(l—0, (33)
удовлетворяющее условию (32), причем оно, очевидно, единственно. Под log (1 — /) понимается ветвь этой функции, равная нулю при t = О.
Так как выражение 1 -f- vVf log (1 — ^) обращается в нуль
_ j_
прн t — 1 — е м и оно по модулю меньше единицы при
_ 1
\t\<\-e «,
то представленная по формуле (33) функция является аналитической с радиусом сходимости, равным, по мень-_ 1
шей мере, 1 — е м.
Функция U (/) является мажорантой для функции и (t), представленной по формуле (28) степенным рядом с радиусом сходимости 1 — е м. Очевидно, что и (t) — единственное решение задачи (24), (25).
6°. Доказательство теоремы Коши—Ковалевской для задачи (17), (18). Ради простоты будем считать, что (17) представляет собой одно уравнение с одной неизвестной функцией и(х, t) с аналитической правой частью f
в окрестности точки (лт = 0, t = 0, и = 0, ~ =
ди \
= 0, ..., р„ = ~-=0|. В этой окрестности функцию
f(x, t, и, pi.....рп) можно представить в виде суммы
абсолютно сходящегося степенного ряда
f(x, t, и, pi, рп) = ?akmsli...tnxktmusp\'...plf, (34)
где
ди . ,
Pi~dXl' ............."•
Без ограничения общности можно считать, что аоо...о = = 0. Этого всегда можно добиться заменой искомой функции по формуле
U = Oo...ot + V.
Как и в предыдущем пункте, будем считать, что радиусы сходимости ряда (34) по всем переменным равны
§ 1. УРАВНЕНИЯ КОШИ - КОВАЛЕВСКОЙ
289
единице. В таком предположении в качестве мажоранты / может служить функция
1 •' (35)
F = M
1-
-U+-+2
Xk
к=]
1
1-
Рк
fe = l
где М и а —некоторые положительные числа, причем 0<а< 1.
В результате последовательного дифференцирования тождества (17) с учетом (18) мы можем вычислить в точке (дг = 0, ( = 0) частные производные всех порядков искомого аналитического решения и(х, t) задачи (17), (18) и составить степенной ряд
и(х, Q = 2 bktx*t‘, (36)
причем его мажорантой может служить решение U (х, t) уравнения
W = F> (37)
удовлетворяющее начальному условию
U (х, 0) = 0.
(38)
Если нам удастся найти аналитическое вблизи точки (лг = 0, t = 0) решение v (х, t) уравнения (37) с положительными коэффициентами в его представлении в виде степенного ряда, то оно будет мажорантой для аналитического решения U (х, t) задачи (37), (38).
Функцию v(x, t) будем искать в виде
где
v(x, t) = w(z),
(39)
(40)
Поскольку в силу (39), (40)
dv dw
dv
dt
1 dw a dz '
av aw . .
dxq dz’ 1 *
П,
на основании (35), (37) заключаем, что функция w(z) должна быть решением обыкновенного дифференциального
290
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
уравнения
т. е.
U
Подберем а так, чтобы число----------Мп было положи-
тельным. Тогда уравнение (41) можно записать в виде
где а0 — положительное число, a Р (z, w) — сумма абсолютно сходящегося степенного ряда
с положительными коэффициентами.
Из двух значений удовлетворяющих равенству
(42), выберем то, которое обращается в нуль при 2 = 0, w = 0. Это означает, что w (г) является решением обыкновенного дифференциального уравнения
Как было показано в предыдущем пункте, аналитическое решение задачи (43) существует и оно представляется в виде суммы степенного ряда
отличным от нуля радиусом сходимости.
В положительности коэффициентов степенного ряда (44) легко убеждаемся при помощи последовательного дифференцирования тождества (42) с учетом (43).
Поскольку представленная формулой (44) функция w является мажорантой для U (х, t) и, стало быть, для и (х, t), степенной ряд (36) имеет положительные радиусы сходимости как по х, так и по t. Следовательно, сумма этого ряда является аналитическим решением задачи (17), (18) вблизи точки (* = 0, 7 = 0).
