Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь коэффициенты а (х, у) и Ь (х, у) отличны от тождественного нуля, но условие
с (х, у) »=? 0 (76)
выполнено всюду в области D. Как уже было отмечено в пункте 5° § 5 гл. I, наличие условия (76) гарантирует существование главного элементарного решения, так что можно построить обобщенные потенциалы, соответствующие уравнению (66). Поэтому мы вправе искать решение задачи (66), (67) в виде суммы обобщенного объемного потенциала с плотностью— /(*, у) и обобщенного потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, которая должна быть решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, эквивалентного этой задаче. Разрешимость же полученного интегрального уравнения следует из единственности его решения.
Выполнение условия (76) не является необходимым для единственности и существования решения задачи (66), (67). Независимо от этого условия задача (66), (67) всегда однозначно разрешима, если мера области D достаточно мала. В этом можно убедиться, если применить метод последовательных приближений Пикара для построения решения и(х, у) интегро-дифференциального уравнения (73).
5°. Достаточное условие единственности решения задачи Дирихле для нелинейного равномерно эллиптического уравнения второго порядка. Пусть недицейное уравнение
802
ГЛ VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
в частных производных второго порядка
F(x, ..., р1г...1п, ...) = 0, (77)
П
х = (хх, ..., хп), ^ if = k, k — 0, 19 2,
( = i
дки
^'1 " djtji... дх1* ’
1 п
определено для всех значений независимых переменных хи х„ из «-мерной области D их изменения и для
П
всех значений р, t ^ i, = k, k = Q, 1, 2.
1 " (=i
Будем считать, что уравнение (77) равномерно эллиптично, т. е. существуют постоянные k0, одинакового знака такие, что для всех * е D и для всех значений А*, ..., %п имеют место оценки
koZ •••> к*‘> (78)
i=I i=i
где
Q(K............ Кп* % ^=2- (79) '
ll ~ln i = I
Дополнительно потребуем, чтобы функция F дЛя всех значений своих аргументов удовлетворяла условию
(80)
при положительной определенности формы Q ^при отрицательной ее определенности для всех аргументов F знак
dF \
неравенства в оценке (80) повернут, т. е.
Нетрудно видеть, что в этих предположениях задача Дирихле
и(х) = (р(х), x^D, (81)
в области D для уравнения (77) не может иметь более одного решения. Действительно, для разности и (х) двух решений щ(х), и^(х) задачи (77), (81) щ силу тсорець)
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
303
конечных приращений имеем
F(x, p\x...ln, ...)-F(x..............) =
2г дки
дЛ...дЛ ’
I п
где fi ...г —средние значения функций
да»
*1 — ‘в
Следовательно, для и(х) тождественно выполняется равенство
= !>'-*• 4-0, 1,2. (83,
1 ¦" п i—1
Повторением рассуждения пункта 4° настоящего параг-
рафа в случае тождества (83) с учетом (78), (79), (80), (82) убеждаемся в том, что и(х) = 0, т. е. и1(х) = иг(х)
всюду в области D.
Заметим, что при применении выводов настоящего пункта мы должны быть внимательны. Так, например, уравнение Монжа —Ампера
дги д2и / д2и \2_ .
дх2 ду2 \д*ду)
эллиптично вдоль любого его решения, поскольку дискриминант соответствующей ему характеристической формы равен —4. Вдоль решений иг — хг + уг — 1 и иг = — иг эта форма имеет вид
Q(dx, dy) = ^dy* + d^dx* (84)
и, стало быть, она положительно определена вдоль иг и отрицательно определена вдоль ы2. Тем не менее это уравнение в круге х2 + Уг < 1 имеет в качестве регулярных решений функции иг (х, у) и — иг (х, у), которые обращаются в нуль на окружности х2 4- у2 = 1. В рассматриваемом случае форма (84) (как уже было отмечено) не
сохраняет знак вдоль всевозможных и (х, у).
В случае уравнения
&u = F(x, у, и) (85)
304
ГЛ VII НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
задачу Дирихле (74) при требовании непрерывности функции F {х, у, и) относительно (х, у) е D U S и для всех значений и, как и в случае уравнения (66) (см. пункт 4° настоящего параграфа), можно привести к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению
“(*• У) + 2^ У’ ^ Л)^(1. Л. u)<%dr\ = 0.
D
Если последовательные приближения определить по формулам
и0(х, у) = 0,
ип (х, у) = — ^ ^G(jc, у\ г)) F (5, г), Un-Jdldt]
п= 1, 2, ,
dF
ди
, то можно показать,
и потребовать ограниченность
что в случае области D достаточно малой меры предел и (х, у) последовательности {ип\ существует и он дает решение задачи (74), (85). Когда же дополнительно из-dF
вестно, что то доказывается, что при требовании
лишь ограниченности области D последовательность {ип} равномерно сходится в D и ее предел и (х, у) является искомым решением этой задачи.
§ 3. Некоторые классы нелинейных уравнений в частных производных
1°. Общее представление решений одного класса квазилинейных уравнений в частных производных первого
порядка. Рассмотрим класс квазилинейных уравнений
первого порядка вида
aVu = 0, (86)
где V —оператор набла по переменным хъ ..., хп, а (и) = = [ai(и), ..., а„(ы)] Ф0 — заданный «-мерный непрерывно дифференцируемый вектор, определенный для всех значений искомого решения и(х), х = (хъ ..., jc„).
Пусть а(ы) = [сх1(ы), ..., а„(и)] — непрерывно дифференцируемый вектор, ортогональный вектору а (и):
