Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
где ф(0 и /(f) —аналитические функции комплексного переменного t = x-\-iy, а путь интегрирования С в обе стороны уходит в бесконечность.
Если функция и (t) = Re / (t) свое максимальное значение на С принимает в некоторой точке t0^C и в обе стороны от t0 при t-^oo она стремится к отрицательной бесконечности, то из-за ограниченности eiZ7,{t), где v(t) = = Im / (f), при оценке F (г) для больших значений г главная доля, очевидно, приходится на часть интеграла (175) по небольшому участку Сг пути С, содержащему внутри себя точку t0.
Так как функция и (t) не может иметь локального максимума ни в одной точке области ее гармоничности, то путь интегрирования в выражении (175) указанным свойством может и не обладать. Однако в силу теоремы Коши, не изменяя значения F (z), мы вправе деформировать путь С, не выходя из области D аналитичности функций
Чтобы отыскать в области D кривую С и точку /0 с этими свойствами, поступим следующим образом. Рассмотрим проходящую через точку t0 линию уровня и (i)= =u(t0) гармонической функции u(t). Проходящая через
F (г) = § ф (t) dt,
(175)
с
f(t) И ф(0-
§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
265
точку t0 кривая С в точке t0 должна иметь направление
Vu = (.g-, ибо именно этот вектор определяет направ-
ление наибыстрейшего изменения функции и (t), максимум которой вдоль С достигается в точке t0.
г, „ т, ди dv ди dv
В силу условии Коши — Римана , -щ = —
скалярное произведение
_ _ ди dv , ди ди п Vu Vy = — 4- -з- — = 0.
дх дх ' ду ду
Но вектор Vy совпадает с нормалью линии уровня v(t)= =v (t0)- Отсюда заключаем, что кривая С в точке t0 .должна иметь направление касательной к кривой v (t) = = v(t0). Так как вдоль кривой w(0 = w(fo) всюду dv dv dx , dv dy n , ,
Is = ~dx~dT + ~3ylt = 0' aB T04Ke to максимУма ФУНКЦИИ
u(t) на С должно быть выполнено равенство ^ ^ +
+ Ц-°. ™П<0)-°.
Таким образом, точку t0 и кривую С с нужными нам свойствами следует искать там, где f (to) = 0 среди кри вых v(t) = v (t0).
Предположим, что t0 и С с этими свойствами найдены. Так как в окрестности jf — to\<.hx точки t0 на С имеет место неравенство
f(t)-f{t„) = J!^L(t-t0r + ...<0, п^2, (176)
то в результате замены переменного интегрирования t = t(?), определенного из равенства
f(t)-f(t0) = ~U\ (177)
выражение (175) примет вид
F{z) = eznu) ^ (178)
dt
Разлагая аналитические функции ф[<(|)] и щ = ,Ф(|)
в окрестности точки | = 0 в степенные ряды, искомое асимптотическое разложение функции F (г) получаем непосредственно, используя формулу (174).
266
ГЛ. VI. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Поскольку точка t0, в которой /' (t0) = 0 для поверхности и = и (х, у), называется точкой перевала, изложенный выше метод получения асимптотической оценки носит название метода перевала.
Так как в методе перевала требуется из уравнения (177) определить t как’функцию ?, то фактическое использование этого метода сталкивается с большим затруднением, даже после того как уже найдены подходящие точка t0 и путь интегрирования С.
Однако в приложениях порой достаточно ограничиться первым членом асимптотического разложения, а его найти легко.
Действительно, положим, что f"(to)?=0- Ограничимся рассмотрением первого члена в разложении (176) и вме-' сто (177) введем переменное
5* = -(*-*о)*П*о). (179)
Вблизи точки t0 участок пути интегрирования С заменим прямолинейным отрезком t — t0=sei<*, где 2# = = я — arg f” (to), с таким расчетом, чтобы вдоль него имело место неравенство
(<-*о)*П*о) = Л“Т(*о)<0.
Тогда из (179) получаем
l = ±sV\FW\* (180)
т. е.
= ± | У\ГШ= ± ^nrw\-
Из двух значений д, отличных друг от друга на я,
выберем то, для которого при прохождении точки t через
to в процессе интегрирования вдоль С переменное ? в (180)
становится положительным, т. е. ~ = e~if) YIГ (to) i •
Следовательно, для первого члена искомого асимптотического разложения в силу (178) и (174) будем иметь выражение
фЩ_ у2яе*> (181)
К|Г (/о)! г
В качестве примера рассмотрим ханкелеву функцию
Н'п (г)= — я j si"*е‘п' dt> (182)
§ 5. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДАХ
267
где интеграл берется вдоль рассмотренной в пункте 10 § 2 ломаной (75).
На этой ломаной лежит единственная точка t0 = — j,
в которой f'(to) = — i cos t0 —0, причем через эту точку проходят две линии уровня Irn/(f) = — sin лс ch г/ = 1. Среди них в качестве нового пути С интегрирования
в (182) возьмем ту, для которой Ф = ^л, arg/* -?г) =
Я
= arg(—i) = —g , ибо при удалении точки t в бесконечность именно вдоль нее функция u(/) = Re(—isinf) = = cos xshy стремится к отрицательной бесконечности.
X (~ I) ~iz ( П \ 1 — Ш f
Гак как е v 1 > = е**, Ф \ ~' у) “ ~ ~^е > то из
(181) для первого члена асимптотического разложения функции Hln(z) при z-vco, 0<z<oo, получаем выражение
§ 5. Понятие о вариационных методах
1°. Принцип Дирихле. В целом ряде случаев, встречающихся в приложениях, уравнения с частными производными представляют собой уравнение Эйлера для вариационных задач. Так, например, как уже было отмечено в пункте 2° § 5 введения, уравнение Лапласа Аи(х, у)=О может служить уравнением Эйлера задачи на минимум интеграла Дирихле
