Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, мы должны определить постоянную а в (4.1) и постоянные P и у в (4.3). Мы увидим, что они определяются двумя условиями: скорость света одинакова в обеих системах S и S*, и новые уравнения преобразования должны переходить в классические, когда скорость v ма.іа в сравнении со скоростью света с.
Пусть в момент / = O из начала координат системы S, которое в этот момент совпадает с началом системы S*, излучается сферическая электромагнитная волна. Скорость ее распространения одинакова во всех направлениях и равна с в обеих системах. Распространение волны можно описывать любым из двух следующих уравнений:
(4.2)
(4.3)
л? 4" у* +z2 = с2/2,
х*2 у*2 Jr z*'Z= сЧ*'1.
(4.4)
(4.5)Используя уравнения (4.1), (4.2) и (4.3), можно выразить координаты, отмеченные звездочками в (4.5), через х, у и Z:
с2 (Р -f у-*)2 = а2 (х — ®0a +У + (4-6)
Собирая однородные члены, получим:
(C2ji2 _ ^JfljJ) /S = (а» _ С2у2) Х2 _J_yl _j_ z2 _ 2 (г,<Х2 -f C2^) *
(4.7)
Это уравнение переходит в уравнение (4.4) только в том случае, когда коэфициенты при t* и х2 в уравнениях (4.7) и (4.4) равны, а коэфициент при х( в (4.7) исчезает. Поэтому:
C2P2-Z^a2 = C2, \
a2 —C2Y2 = I1 L (4.8)
г>а2 + c2flY = 0. J
Эти три уравнения решаем относительно неизвестных а, ? и у- Исключением а2 получаем:
= 1' 1 c2Y(? + ®Y)= — v. I
Далее, путем исключения у, получим для ?2:
"» + *»-'• . (4.9)
P = T=Fp- И"»
Таким образом, величина JJ, в отличие от классической теории, не равна единице. Однако, выбирая положительный знак корня в (4.10), мы увидим, что при малых VjC значение jS почти равно единице, отличаясь от нее лишь во втором порядке. Y определяется уравнением:
у = !=?=-Єн. (4 11)
и наконец, для а находим:
a2 = — ^ = Pf. (4.12)
Здесь опять выбираем положительное значение корня.Подставляя найденные значения в уравнения (4.1) и (4.3), получаем новые уравнения преобразования:
- X — at
Vl — v^jct
у* =У>
Z* = Z,
t* t — Ojdt-X
V і — '
(4.13)
Это так называемые уравнения преобразования Лорентц а. При малых значениях v[c они переходят в уравнения преобразования Галилея:
X* = X — Vt у*= у,
z*=г, t* = t.
(4.14)
Различие между (4.13) и (4.14) всюду второго порядка относительно vjc (или xjct). Справедливость уравнений Ло-рентца экспериментально можно проверить только в том случае, когда (vjc)* больше вероятной ошибки опыта. Май-кельсон и Морлей в своем знаменитом эксперименте увеличили точность настолько, что сумели измерить эффекты второго порядка и доказать на опыте непригодность уравнений преобразования Галилея.
Решая уравнения (4.13) относительно х, у, z и t, получим:
(4.15)
t =
Vl — иЦс*'Сравнивая (4.15) с (4.13), мы видим, что S имеет относительную скорость (— V) по отношению к S*. Это заключение не тривиально, поскольку ни единица длины, ни единица времени в S и в S* непосредственно несравнимы.
Скорость светового сигнала, испущенного из любой точки в любой момент времени, равна с во всех системах координат, если она равна с в одной из них, так как пространственные и временные разности координат двух событий преобразуются точно так же, как и сами координаты х, у, Z и t.
Преобразования Лорентца не совместимы с классическими представлениями о пространстве и времени. Они устанавливают справедливость принципа относительности по отношению к законам распространения света.
До сих пор мы сравнивали нашу теорию преобразований только с результатами опыта Майкельсона-Морлея. Будет ли она согласоваться также и с явлением аберрации? Мы должны сравнить направление приходящего света в двух системах отсчета: системе, связанной с Солнцем, и системе, связанной с Землей. Величина аберрации зависит от угла между приходящим световым лучом и направлением относительного движения этих двух систем отсчета. Обозначим этот угол через а (в системе, связанной с Солнцем). Направим общую ось X обеих систем вдоль их относительного движения, причем световой луч пусть будет расположен в плоскости XY. В системе, связанной с Солнцем, траектория светового луча определяется посредством
jr=c/«cosa, у = Ct-Sina.. (4.16)
Уравнения движения в системе, связанной с движущейся Землей, получаются отсюда применением обратных преобразований Лорентца (4.15). Тогда (4.16) приобретает вид:
x*-\-vt* = c (** + ?**) cosa, j у*У\—v^lc' = c ('* + ?**) sin a. jРешая эти уравнении относительно х* и _у*, получим:
¦• ,Jb cos а — vie „
X" = dk -і-— =ctx Cosafc1
1—VC-COSO
(4.18)
v :¦: = cl* -EL?-у 1 _ V1lcS _ Ct* sin Ct*.
1 — vjc-COSO ' t
Котангенс нового направления равен:
ctg a* = _ctga_^cosec_a У 1 _ „ijci
Соответственно классическому объяснению, данному на стр 40, этот угол должен был бы определяться соотношением:
ctg a* = ctg a — v/c ¦ cosec я. (4.20)
С авнивая (4.19) и (4.20), надо иметь в виду, что отношение VC мало (порядка IO-4). Поэтому разложим оба соотношения в ряды по степеням vjc. Тогда:
ctga Jel = ctg a — vjc • cosec a + і (у)2 ctg a +..., (4.19а) її