Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
V=ssW/
и согласно (5.11)
У.* = W г <5-23*
Три величины преобразуются согласно уравнению (5.11); поэтому они являются компонентами вектора, который называется градиентом скалярного поля V.
Три функции координат Vt(xv х3) являются компонентами векторного поля, если в каждой точке пространства они преобразуются как компоненты вектора. Функции V. от координат х'г определяются, таким образом, уравнениями
W = (5-113)
где Xs и х'г связаны уравнениями преобразования. Операция градиента приводит к образованию векторного поля из первоначального скалярного.
Операция дивергенции является в некотором смысле противоположной. При заданном вектором поле Vj мы образуем сумму производных каждой компоненты по координате с тем же индексом
div V=Viil.
(5.24) Покажем, что это выражение является инвариантом (скаляром):
Vkjk. = Viyi. (5.25)
Метод доказательства совершенно такой же, как и выше. Заменим штрихованные величины и производные нештрн-хованными
V = С* ^1V1), * = CklCmkV, я. (5.26)
В силу уравнения (5.10) последнее выражение равно правой части уравнения (5.25).
Дивергенция градиента скалярного поля является лапласианом этого поля и представляет также скалярное лоле:
divgrad Ve^ V,js = WV (5.27)
Тензоры. Во многих разделах физики їм встречаемся с величинами, законы преобразования которых несколько -сложнее, чем для векторов. В качестве примера рассмотрим так называемый ,векторный градиент*. Если задано векторное поле Vi, можно образовать совокупность величин, определяющих изменение каждой компоненты Vi прн переходе из точки с координатами хк в произвольном направлении в бесконечно близкую точку с координатами хк -f- 8хк. Приращениями величин Vi будут
*Vi=Vi,**x» (5-28)
девять величин Vi к называются векторным градиентом от Vi. Законы преобразования этих величин легко получить обычным способом:
V'm. п. = с'*л K1^1), * = CmiCakVit к. (5.29)
Векторный градиент является примером нового класса величин, тензоров, к рассмотрению которого мы теперь перейдем. В общем случае тензор имеет N индексов, каждый из которых может принимать значения от 1 до 3. Тензор имеет поэтому 3" компонент. Эти 3" компоненты преобразуются согласно следующему закону:
Clll=W,/-^.- (5-3°)
Число индексов N называется рангом тензора. Векторный градиент является тензором второго ранга, вектор — тензором первого ранга, а скаляр может быть назван тензором нулевого ранга.
Важным тензором является символ Кронекера. Его компоненты во всех координатных системах, согласно (5.30) и (5.76), однн и те же:
ё'ы = cMcUbIj = ск,си = (5-31)
Сумма или разность двух тензоров одинакового ранга является тензором того же ранга. Запишем этот закон для тензоров третьего ранга:
TiktjT Vikv (5-32)
Tlkt-Uikl=Wik, (5.33)
Доказательство такое же, как для соответствующего векторного закона (5.19).
Произведение двух тензоров рангов MkN является новым тензором ранга (Л1-|-ЛГ):
Ttk.. Ulm... = Vik...1т.... (5.34)
Ранг тензора может быть понижен на 2 (или на любое четное число) посредством операции, называемой ,свертыванием". Любые два индекса могут быть превращены в пару немых индексов. Например, свертыванием тензора Tikt... можно получить тензоры Tsst..., Tirr... и т. д. Очень просто доказать, что в результате свертывания получается тензор. Для первого из приведенных примеров оно проводится так:
TstI,.. = cSicSkcIm ' ¦ • Tikm. ^
В силу (5.10а) правая часть равна
Trfsl =SikCtm.. Tikm,.. = Ctm...Tiin..,. (5.35) При свертывании векторного градиента (тензор второго ранга) мы получаем дивергенцию (тензор нулевого ранга). Операции умножения (5.34) и свертывания могут быть скомбинированы так, что в результате получаются тензоры такие, как
TikUkm, TtkUik, TikUki.
Тензоры могут обладать свойствами симметрии по отношению к своим индексам. Если тензор не меняется при перестановке двух или более индексов, он называется симметричным относительно этих индексов. Например:
tiur=tkiv
Uklm1 Utkm ~ Uilm = Ukim " Ulim = Ulkm'
Первый тензор симметричен относительно первых двух индексов, второй тензор симметричен относительно первых трех индексов.
Если компоненты тензора остаются неизменными при четной перестановке индексов и меняют знак при нечетной перестановке, тензор называется антисимметричным (иногда кососимметричным) относительно этих индексов. Например,
Ui t= ^ki''
Uklm = Ulim — Uiim ~ Ulkm ~ Uilm W
Все эти свойства симметрии тензоров являются инвариантными. Доказательство этого элементарно и предоставляется читателю.
Тензор Кронекера симметричен относительно своих двух индексов.
Тензорный анализ. При дифференцировании тензора по координатам получается тензор, ранг которого выше на единицу. Доказательство опять очень просто:
Т'тп..., ,< = C'ls ^mfiЛ- Tik¦ ¦ •), cA • • • «Л-, f (5"36)
Если тензор получается в результате свертывания по индексу дифференцирования и какому-либо другому индексу, например Tik...к, его часто называют дивергенцией. Тензорные плотности. Векторное произведение двух векторов а и Ь обычно определяется как вектор, перпендикулярный к а и Ь, а по абсолютной величине равный I а I ¦ I b I sin (а, Ь). Всегда существуют два вектора,
