Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
В более общем виде сечение упругого изотропного или анизотропного рассеяния можно разложить в ряд по полиномам Лежандра, зависящим от угла рассеяния со в системе центра инерции. Вместо уравнения (4.5) сечение в этом случае можно представить в виде
о (х,Е') f (х; E' -> Er ^0) dE =
OO
_ asn (х, E') Pn (cosai) d cos (S) 6(ц,0 — S). (4.7)
п^о 4п
Так как для упругого рассеяния [5]
то можно исключить cos со из уравнения (4.7), что приводит к следующему выражению:
о (х, E') / (х; E' -> Er ^i0) dE =
1
"V 2/г + (1 — а) E' 2п
v ’ п — О
(1-|)
6(|x0—S)dE. (4.8)
Тогда коэффициент разложения находится из уравнения (4.3) в виде
Oi (х; E'-+E) = - ¦ J (2,г + 1) х
(1-а) E -*¦!
п =O
хР. [1 - ™ (1 - тН^ / f-iTi /т] ¦ <4 9)
где выражение для S выписано полностью.
Уравнение (4.9) или даже уравнение (4.6) является достаточно сложным для расчета без привлечения ЭВМ. Однако при наличии вычислительных машин задача становится относительно простой. Данные по микроскопическим сечениям рассеяния обычно записываются на магнитофонную ленту и вызываются с нее по мере необходимости для организации многогрупповых сечений, используемых в расчетах переноса нейтронов (см. разд. 4.5.1).
4.2.3. УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
Угловые распределения потока нейтронов и источника можно теперь учесть с помощью разложения в ряд по полиномам Лежандра (см. разд. 2.6.1). Таким образом,
Ф (х, ц, Е) = 2 -2т +1 ф т (х, Е) Pm ((і); (4.10)
4д
т = 0
Q(x, ц.Е)= У E)Pm(ti), (4.11)
т = 0
где
1
фт(х, E) = ^Ф(х, р, Е) Pm (р) d Si= 2л ^ Ф(х, р, E)Pm(p)dp; (4.12)
— і
і
Qm(XtE) = 2л J Q(x, р, Е) Pm([i) dp. (4.13)
— і
Эти разложения подставляются затем в уравнение (4.4) и результат умножается на Pn (^i). После интегрирования по от —1 до 1 и использования ортогональности полиномов Лежандра зависящие от энергии уравнения метода сферических гармоник получаются в следующем виде:
(Я + !)*»»+¦ <*-.g> + ni?!LLi + (2л + 1)0 (X1E) ф „ =
OX дх
= (2п + I) J an (х; E1 -*Е)фп (х, E') dE' + (2л + I) Qn (х, ?), п = 0, 1,2,3 ... (4.14)
Эта бесконечная система дифференциальных уравнений для п = 0,1, 2 ... эквивалентна исходному уравнению переноса (4.1). Как и в разд. 3.1.3, Р^-при-ближение получается, если рассматривать первые N + 1 уравнений этой системы и положить дф N+Jdx = 0. Это эквивалентно отбрасыванию всех членов разложения в уравнении (4.10) с т > N + 1.
137
До сих пор все рассмотрение было таким же, как в гл. 3, за исключением того, что в качестве переменной здесь появляется и энергия. Аналогично можно ввести обычные граничные условия, определенные в гл. 3, в которые в качестве параметра также вводится энергия. Необходимо отметить, однако, что интегралы рассеяния в уравнении (4.14) содержат вклады от энергии E'. Эти члены • представляют собой анизотропный источник нейтронов с энергией Е.
4.2.4. РгПРИБЛИЖЕНИЕ
И ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Как и в гл. 3, поток ф0 идентичен полному потоку ф, а фг—току нейтронов J в направлении х. Следовательно, из уравнения (4.14) можно записать уравнения Ргприближения (для ti = О и п = 1 ) в виде
~'~дх~ + °(Х’ Е) $ (Х’ Е) = J 00 (х; Е> ?) $ {х’ Е>) dE> + Qo (х> ?): (4-15)
dAibIl _|_ За (х, Е) J (х, Е) = 3 Ta1 (х; E' Е) J (х, E') dE' + 3Q1 {х, Е). (4.16)
дх J
Установлено, что Pj-приближение является очень полезным для широкого класса реакторных задач. В частности, к этим задачам можно отнести те, в которых нужно проводить предварительные расчеты, не требующие большой точности, или задачи по расчетам больших систем, где толщина наиболее важных зон равна нескольким длинам свободного пробега нейтронов. Для таких больших систем поток нейтронов можно в большей части реактора представить первыми двумя членами разложения по полиномам Лежандра.
Кроме того, опытный физик-реакторщик может часто получить точные результаты с помощью Рх-приближения даже в тех случаях, когда оно строго неприменимо. Например, с помощью синтетических ядер [6] можно подобрать сечения таким образом, чтобы получить согласие с экспериментальными данными, или в наиболее слабые места Р1-приближения можно ввести результаты более точных приближений теории переноса нейтронов [7]. С развитием быстродействующих вычислительных машин и при наличии более точных данных по ядер-ным сечениям использование многих из этих методов становится нецелесообразным. Другие методы являются слишком специфичными для обсуждения в настоящей книге. Тем не менее Р^приближение (и связанное с ним диффузионное приближение) широко используется в реакторном анализе. Поэтому в данной главе они рассмотрены подробно.
Прежде чем приступить к выводу уравнений Рг-приближения в многогрупповом виде, рассмотрим соотношение между P1- и диффузионным приближениями. Отметим, что в уравнениях Р^приближения присутствует связь между различными энергиями нейтронов через интегралы по энергии в правых частях уравнений. Такие интегралы можно включить в многогрупповые представления (см. разд. 4.3.1, 4.3.2), но интеграл рассеяния в уравнении (4.16) часто представлен в виде, приводящем к зависящему от энергии диффузионному приближению. Причины этого в некоторой степени исторические, так как первые многогрупповые методы [8] были развиты, исходя из диффузионно-возрастного приближения, а не из теории переноса нейтронов. Кроме того, методы решения уравнений диффузионного приближения имеют особенно прочную математическую основу (см. разд. 4.4.6).
