Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
дг
+°ф=
4я
— I О /'=O
X
т' = I
Xcosm' (% — %') Ф [r, х')
dt' dp' + Q (г, JA, х).
(3.77)
Подставляя уравнение (3.75) в уравнение (3.77) и вычисляя интегралы, можно записать полученный результат в следующем виде:
дФ
COSX
дг
дг J
21' + 1 4л
Osr (Г)
Pr M ф г (0 + 2 V '77/ pT'' (И)cos т %фг' (0І • „Л (/ +т ] J
(3.78)
Чтобы получить систему уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты разложения ф Т, умножим уравнение (3.78) на PT(ц) cosmx и проинтегрируем по всем направлениям движения нейтронов. Если член, содержащий дФїд%, интегрируется по частям и используются рекуррентные соотношения, которым удовлетворяют присоединенные функции Лежандра, то производные в левой части уравнения можно выразить через фТ±\ и их производные по радиусу.
Получающиеся уравнения можно представить в виде
FT+1 (О + F?-''1 (О + [о(/')-asI(/-)) фТ = С}1т(О,
где FT+\ FT~1 и Qim определяются соотношениями:
FT+ ' :
1 +6
то
2(2/ + !) FT1 =
dr
+ (от + 1)
Ф
га-I- I /+I
d ф T +i1 фТ+і1
—bL+(OT+i)_?zil_ I-
г-\{1 + т— 1) (/ + т)
2(2/+1)
— (/— от + 1) (/ — от+ 2)
— I
йФі- 1
dr
dr
— (ОТ— I)
1’
Фт— 1
I- I
dф
т— 1
Л-I
dr
(от— 1)
ф
т— 1
/+I
I 2я
Qlm = Jj 5 Q (Г- %) PT (fO cos OTX d% dp.
— I о
129
Зти уравнения, которым удовлетворяют коэффициенты разложения очень сложны. Чтобы детально ознакомиться с различными аспектами их использования, необходимо обратиться к специальной литературе [30]. Еще один путь исследования задач в цилиндрической геометрии с применением метода дискретных ординат рассматривается в гл. 5.
3.6.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
РАСЧЕТА ЯЧЕЙКИ
После того как поток нейтронов внутри ячейки рассчитан, результаты можно использовать для расчета диффузии нейтронов по реактору в целом. Обычный метод состоит в гомогенизации ячеек, в результате которой эффективные сечения получаются следующим образом. Расчеты ячеек приводят к определению скоростей реакций и рассеяния нейтронов данной энергии (или скорости) для всех материалов в ячейке. Когда проводится гомогенизация ячеек, эффективные сечения определяются таким образом, чтобы скорости реакций сохранялись при интегрировании по ячейке.
Предположим, например, что ох (г) — сечение реакции типа х для нейтронов данной энергии в точке г внутри ячейки. Если<? (г) — поток нейтронов, полученный при расчете ячейки, то эффективное сечение ах можно определить так:
[ (г) ф (r)dv
“ ячейка
°Х = --------:-----------.
j Ф (r)dV
ячейка
так что полная скорость реакции для гомогенизированной системы рав-на скорости реакции в ячейке. Возможны и другие определения эффективного сечения, но приведенное выше является и наиболее простым, и удобным.
Для любого типа нейтронных реакций можно также определить коэффициенты экранирования (или проигрыша) в виде отношения действительной скорости реакции к той скорости, которую можно было бы получить для того же материала при условии, что он облучается усредненным по объему ячейки потоком нейтронов. Таким образом, коэффициент экранирования Sx для реакции типа х
j ох фdV
где числитель представляет собой действительную скорость реакции, т. е. число реакций типа * в секунду в ячейке объемом Vfl, а знаменатель — скорость реакции, которая существовала бы, если бы весь материал облучался средним потоком, определяемым в виде I CpdVlVn.
Таким образом, ох в зависимости от Sx можно записать следующим образом:
J OxdV
_ с ячейка
crOC =iOC ----Г.-----•
' я
Если бы реакции происходили в топливном элементе однородного состава объемом 1/т, то Jax dV был бы равен OxVt. При этих условиях
^x Vfi — Sx <ух Vt,
где обе части уравнения представляют собой скорость реакции в ячейке на единицу потока.
130
Если использовать такие эффективные сечения или коэффициенты экранирования, то все скорости реакций в гомогенизированной ячейке будут равны этим значениям в действительной гетерогенной ячейке. Изучение эффектов утечки в гомогенизированных решетках оказывается более сложным. В некоторых системах нейтроны могут более свободно диффундировать в направлении, параллельном осям топливных стержней, т. е. в каналах теплоносителя, чем в перпендикулярном направлении. Следовательно, в гомогенизированной активной зоне коэффициент диффузии зависит в некоторой степени от направления градиента потока. Эта сложная задача здесь не рассматривается, не заинтересованный читатель может обратиться к специальной литературе [31].
3.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
3.7.1. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Все методы решения уравнения переноса, представленные в настоящей главе, основаны на разложении потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам (или полиномам Лежандра) и последующем выводе уравнений для коэффициентов разложения с помощью свойства ортогональности полиномов.
Возможны разложения потока нейтронов в ряд по другим полиномам, и для одиоскоростной задачи в плоской геометрии делались попытки разложить поток по полиномам Чебышева, Гегенбауэра, Якоби и др. [321. Однако была получена относительно небольшая польза от таких разложений отчасти из-за того, что полиномы Лежандра имеют определенные преимущества перед другими полиномами. Например, было показано, что в плоской геометрии первые два члена разложения представляют собой полный поток и ток нейтронов соответственно и поэтому имеют ясный физический смысл. В более общем случае первые четыре члена разложения потока в ряд по сферическим гармоникам представляют собой полный поток и три компоненты вектора тока. Кроме того, полиномы Лежандра очень удобны при изучении анизотропного рассеяния и, как показано E разд. 3.1.2 и 3.3.5, при их использовании отсутствует какая-либо связь между уравнениями для различных компонент разложения.
