Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
' При учете нелинейных эффектов результаты анализа на устойчивость могут быть совершенно другими, чем для линеаризованной модели. Система, устойчивая к малым осцилляциям около величины P0, может быть неустойчива при колебаниях мощности большой амплитуды. Простая ситуация такого рода имеет место, если в процессе осцилляций мощность реактора превышает некоторое значение P1, при котором наступает неустойчивость к малым осцилляциям. С другой стороны, в системе, проявляющей линейную неустойчивость, осцилляции могут быть ограничены нелинейными эффектами и эти границы могут быть такими, чтобы не существовало опасности в работе реактора.
Как упомянуто ранее, нелинейные обратные связи могут приводить к различным типам устойчивости, включая асимптотическую устойчивость и устойчивость по Лагранжу (см. разд. 9.4.1). Эти два типа устойчивости существуют только для возмущений в некоторой ограниченной области параметров.
Разработано несколько подходов к решению проблемы устойчивости с учетом нелинейных уравнений кинетики, но ни один из них не оказался по-настоящему удовлетворительным. На первом этапе ограничивались в основном рассмотрением линейных обратных связей, описываемых уравнением (9.57), так что нелинейность появлялась лишь в члене бр (/) [P0 + 6Р (/)]. Далее, различные условия, выведенные по отношению к функции Z7 (і со), достаточны для гарантии устойчивости, но не являются необходимыми условиями. Это означает, что найденные условия устойчивости могут оказаться слишком строгими. Наконец, было показано, что, как правило, область устойчивости для линейной модели ограничена пороговой мощностью, выше которой реактор неустойчив. Некоторые из условий для F (ico) в нелинейной кинетике были выведены для всех мощностей и не учитывают «пороговый эффект».
При попытке вывести условия устойчивости для всего диапазона мощностей удалось показать [41], в пренебрежении запаздывающими нейтронами, что система асимптотически устойчива при условии Re [Z7(Ico)] < 0 для всех значений со. Кроме того, было продемонстрировано [42], что учет запаздывающих нейтронов не меняет этого критерия. Очевидно, что такое условие устойчивости согласуется с результатами линейной теории, которая предсказывает (см. разд. 9.4.5) существование устойчивости, если Re [Z7(Ico)] < 0 или если Re [Z7(ico)] > 0 и Im [Z7(Jco)] < 0. Как показано, условие Re [Z7 (ico)] < 0 для всех значений со является достаточным для устойчивости, но не необходимым.
С точки зрения линейной теории это условие может оказаться чрезмерно ограничивающим.
В литературе [43] описан метод предсказания границ неустойчивости для систем, которые являются устойчивыми с точки зрения линейной теории. Ин-
402
формация такого типа должна быть полезной в предсказании области применимости результатов, полученных при использовании линейных моделей.
Возможный способ оценки устойчивости систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, предоставляет второй (или прямой) метод А. М. Ляпунова [44]. В этом методе ищется функция Ляпунова, которая является обобщением понятия энергии для механической системы в том смысле, что она должна быть положительно определенной функцией переменных, т. е. мощности, температуры и т. д., и обладать отрицательной производной по времени. Если можно найти такую функцию, то для области изменения переменных, где она существует, система будет асимптотически устойчивой. Функция Ляпунова найдена для некоторых задач. Были разработаны специальные способы [45] уточнения результатов, получаемых с помощью прямого метода Ляпунова [46]. Тем не менее не существует общего подхода к получению функций Ляпунова.
Было обнаружено, что анализ нелинейной устойчивости менее важен, чем анализ линейных моделей. Например, нелинейный анализ непригоден для общих экспериментальных проверок. В целом изучение нелинейных обратных связей показывает, что результаты, получаемые из линейной теории, вряд ли могут ввести исследователей в заблуждение по вопросам устойчивости реакторов. В частности, если реактор работает при мощности, распределении температур и гидродинамических параметрах в пределах областей, где устойчивость с точки зрения линейной теории гарантирована, то маловероятно, что нелинейные эффекты приведут к неустойчивости. Однако необходимо сознавать, что когда линеаризованная модель предсказывает неустойчивость, нужно провести анализ нелинейной системы, прежде чем можно будет понять физические следствия неустойчивости.
9.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
9.5.1. ВВЕДЕНИЕ
Для измерения передаточной функции Я (ісо) и исследования обратных связей и устойчивости работы реакторов использовались разнообразные экспериментальные методы. Сравнивая результаты экспериментов с расчетами зависимости амплитуды и фазы от частоты, можно проверить, соответствует ли в той или иной степени измеренная обратная связь рассчитанной. О неустойчивости свидетельствует существование резонансных пиков в амплитуде передаточной функции при небольшой мощности [471. Если механизмы обратных связей не меняются с мощностью резко, можно определить условия, опасные для работы при высокой мощности. В дальнейшем можно обнаружить неисправность устройств реактора, наблюдая за изменением его передаточной функции [481.
